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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1990}
\rfoot{\small Brevet Burundi}
\lfoot{\small juin 1990}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Burundi\footnote{Cameroun, Mauritanie, Togo, République Centrafricaine, Zaïre} juin 1990 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip


\begin{enumerate}
\item On additionne le cube de $- \dfrac12$ et le double de $\dfrac56$ .

Quel est le nombre obtenu ? (On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.)
\item $d = \left(\sqrt 3  - \sqrt 2\right)^2 + 2\left(\sqrt 6 + 2\right)$.

Développer, puis simplifier, pour montrer que $d$ est un nombre entier.
\item $e = -  2 \:; \quad f = - \dfrac35\:; \quad  g = \dfrac43$. 

Calculer $e + f + g,\: ef,\: \dfrac fg$.

Donner les résultats sous forme de fractions les plus simples possible.
\item Au collège Charlemagne, un élève peut être soit externe, soit demi-pensionnaire, soit interne.

Les deux tiers des élèves sont externes, $20$\,\% des élèves sont demi-pensionnaires et $60$ élèves sont internes.

Quel est le nombre d'élèves du collège Charlemagne ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

L'unité de longueur est le millimètre.

Le triangle OBC est rectangle en O. 

OB $= 24$ et OC $= 32$.

Une parallèle à (BC) coupe le segment [OB] en A et le segment [OC] en D. On pose OA $= x$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.2,4)
\pspolygon(0.2,3.6)(0.2,0.2)(4.7,3.6)%OBC
\psline(0.2,1.25)(2.9,3.6)%AD
\psframe(0.2,3.6)(0.4,3.4)
\uput[l](0.2,1.25){A} \uput[dl](0.2,0.2){B} \uput[ur](4.7,3.6){C} \uput[u](2.9,3.6){D} \uput[ul](0.2,3.6){O}
\end{pspicture}
\end{center}

Démontrer que AD $= \dfrac{5x}{3}$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit la pyramide régulière SABCD de sommet S, de base carrée ABCD.

Les diagonales du carré ABCD se coupent en H.

La hauteur du triangle SAB relative au côté [AB] est [SK].

Le côté du carré ABCD mesurant $15$~cm, on a HK $= 7,5$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.3)(3,1.7)
\pspolygon(0,1.5)(-0.9,1)(-2.5,-1)(0.9,-1)(0,1.5)(2.5,1)(0.9,-1)(-2.5,-1)%SCDASBAD
\psline(0,1.5)(1.7,0)%SK
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(0,0)(1.7,0)%SHK
\psline[linestyle=dashed](0.9,-1)(-0.9,1)(2.5,1)(-2.5,-1)%ACBD
\psline(-0.11,0.12)(-0.22,0.05)(-0.13,-0.07)
\uput[dr](0.9,-1){A} \uput[r](2.5,1){B} \uput[ul](-0.9,1){C} \uput[dl](-2.5,-1){D} \uput[d](0,0){H}
 \uput[dr](1.7,0){K} \uput[u](0,1.5){S}
\end{pspicture}
\end{center}

Sachant que $\widehat{\text{SKH}} = 40\degres$, calculer la hauteur de la pyramide au millimètre près.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Terminer la construction d'un triangle ABC tel que

\begin{itemize}
\item AB $= 5$ cm ;
\item AC $= 7$ cm ;
\item la droite $(D)$ est la hauteur relative à (BC) 
\end{itemize}

(aucune justification de la construction n'est demandée).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.3,3)
\psline(0,0)(9.3,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](3.9,2.5)
\uput[u](3.9,2.5){B}
\rput(9.2,2.7){$(D)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans un repère orthonormal, on considère les points :

\[\text{A}(0~;~5) ;\quad \text{B}(5~;~5) ;\quad \text{C}(3~;~2) ;\quad \text{D}(-2~;~2).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire le dessin en prenant 1 cm pour unité.
\item On appelle H le projeté orthogonal de A sur la droite (CD). 

Donner, sans justifications, les coordonnées de H.
\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{CD}}$, \: $\vect{\text{CB}}$ et $\vect{\text{AB}}$.

Pourquoi le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ?
\item Calculer les valeurs exactes des longueurs CD et CB.

En déduire la valeur exacte du périmètre du parallélogramme ABCD.
\item Construire la droite $(\Delta)$ passant par A et perpendiculaire à la droite (BC) ; $(\Delta)$ coupe la droite (BC) en H$'$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité suivante : 
		
		\[\text{AH} \times \text{DC} = \text{AH}' \times \text{CB}.\]
		
		\item En déduire la distance du point A à la droite (BC).
		
On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,1$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point E tel que $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.
		\item Démontrer que les points D, C, E sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}