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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Burundi}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Burundi juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une
fraction irréductible:

\[a = \dfrac56 + v38\:; \qquad b = \dfrac{10}{9} \times \dfrac{12}{25}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire chacun des nombres suivants sous la forme $a+ b\sqrt 2$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers :

\[c = \left(1 + \sqrt 2\right) \:;\qquad d = 2 + \sqrt 8.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Développer, réduire et ordonner l'expression

\[A = (x+ 1)(2x - 3)- x^2 + 1.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Écrire sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré l'expression

\[B = (x + 1)(2x - 3) - (x + 1)(x - 1).\]


\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Résoudre l'équation

\[(x + 1)(x - 2) = 0.\]

\medskip

\textbf{Exercice 6}

\medskip

Dans un pot de confiture fraise-framboise, il y a 60\,\% de
sucre et 40\,\% de fruits. $\dfrac58$ des fruits sont des fraises, le reste
des framboises.

Calculer la quantité (la masse) de fraises et la quantité de
framboises contenues dans un pot de $480$~g de confiture.

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé, placer le point A$(- 2~;~- 1)$ et tracer la droite $(D)$ d'équation $y = - 2x +3$. 

(Prendre un centimètre comme unité et justifier le tracé de la droite $(D)$.)
\item La droite $(D)$ passe-t-elle par le point B$(100~;~- 180)$ ? Pourquoi ? 

(Ne pas chercher à placer le point B sur le dessin!)
\item Soit $\left(D_1\right)$ la droite parallèle à $(D)$ qui passe par le point A. 

Écrire une équation de $\left(D_1\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On veut calculer la distance à la côte d'un phare P{}. 

On fait deux visées à partir des points A et B.

Sachant que

\begin{itemize}
\item AB $= 309$~m,
\item  ABP $= 81\degres$,
\item (AP) et (AB) sont perpendiculaires,
\item $\cos 81\degres = 0,156$,
\item $\sin 81\degres = 0,987$,
\item $\tan 81\degres = 6,313$,
\end{itemize}

calculer la distance AP à un mètre près.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.8)
\psline[linewidth=1.5pt](0,3.3)(1,3)(1.8,2.7)(1.4,1.8)(0.8,1.3)(1,1.1)(1.5,0.4)(2.1,0)
\pspolygon(0.2,2.6)(0.2,0.7)(6,2.6)%ABP
\psframe(0.2,2.6)(0.4,2.4)
\rput{-15}(1.4,3.2){côte}
\psarc(0.2,0.7){0.5}{20}{90}
\uput[r](6,2.6){P(hare)}
\rput(3,2.3){mer}
\uput[ul](0.2,2.6){A} \uput[dl](0.2,0.7){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner un triangle ABE tel que

\begin{center}
AB $= 9$ cm\:;\qquad AE $= 6$ cm\:;\qquad BE $= 12$ cm.
\end{center}

Sur le segment [AB], placer le point M tel que BM $= 6$ cm.

Placer le point C tel que le quadrilatère ABCE soit un parallélogramme.
\item La droite parallèle à (AC) passant par M coupe la droite (BC) en N.

 Calculer $\dfrac{\text{BN}}{\text{BC}}$.
\item La droite parallèle à (AE) passant par M coupe la droite (BE) en P.

 Calculer $\dfrac{\text{BP}}{\text{BE}}$.
\item Les droites (PN) et (CE) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé, placer les points A$(- 1~;~2)$\:;\: M$(3~;~- 2)$\: ;\: E(9~;~4).

(Prendre un centimètre pour unite et faire un dessin soigné qui sera complété au fur et à mesure.)
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle AME est rectangle en M.
		\item Soit B le milieu du segment [AE]. Soit (C) le cercle de centre B et de rayon BA.
	\end{enumerate}	
Démontrer que le cercle (C) passe par M.
\item Tracer la droite (D) qui passe par le point B et qui est parallèle à la droite (AM).

La droite (D) coupe la droite (EM) en N.

Démontrer que :
\begin{itemize}
\item les droites (BN) et (ME) sont perpendiculaires ;
\item le point N est le milieu du segment [ME].
\end{itemize}

\item Placer le point C symétrique du point B par rapport au point N.

Démontrer que le quadrilatère BECM est un losange.
\item Les droites (EC) et (AM) se coupent en F. 

Calculer les coordonnées du point F.
\end{enumerate}
\end{document}