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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On considère la fonction polynôme $f$ ainsi définie 

\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to & \R,\\
&x&\mapsto&x^2 - 49 - 5(x + 1)(x - 7).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ sous la forme d'un produit de fonctions
polynômes de degré au plus égal à un.
\item Soit $g$ la fonction rationnelle définie dans $\R$ par

\[g(x) = \dfrac{f(x)}{2x^2 - 28x + 98}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $E$, de la fonction $g$.
		\item Simplifier, dans $E$, l'expression de $g(x)$.
		\item Résoudre, dans $E$, l'équation

\[\dfrac{-2x + 1}{x -7} = 1.\]

	\end{enumerate}
\item Dans un plan euclidien $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormé \Oij{} tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives

\[\left(D_1\right) :\quad 2x +y - 1 = 0,\quad \left(D_2\right) : x - y -7 = 0.\]

\item On pose $\{\text{M}\} = \left(D_1\right) \cap \left(D_2\right)$.

Calculer les coordonnées de M.
\item Calculer les coordonnées du point I, intersection de $\left(D_2\right)$ avec l'axe des ordonnées.
\item Déterminer l'équation de la droite $\left(D_3\right)$ passant par I et parallèle à $\left(D_1\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan euclidien $\mathcal{P}$, on considère un triangle (A, B, C) rectangle en B tel que

\begin{center}$d$(A, B) = AB $= 0,5$ et $d$(B, C) = BC $= 1$.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure soignée en prenant pour unité de longueur le décimètre. 

Cette figure sera complétée au cours du problème.
\item Calculer $d$(A, C).
\item H étant le projeté orthogonal de B sur (AC), calculer

\begin{center}$d$(B, H)\:;\quad  $d$(A, H)\:;\quad $d$(H, C).\end{center}

\item Soit M le milieu du segment [BC] et soit H$'$ son projeté orthogonal sur la droite (AC).

Démontrer que H$'$ est le milieu du segment [HC] 

En déduire $d$(H$'$, C) et $d$(H$'$, M).

Que peut-on dire des triangles (A, H, B) et (M, H', C)? 
\item Soit M$_1$ le milieu du segment [HB].

Démontrer que les droites (MM$_1$) et (HH$'$) sont parallèles. 

En déduire la nature du quadruplet (H, H$'$, M, M$_1$).
\end{enumerate}
\end{document}