\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Caen juin 1979},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On considère les deux fonctions polynômes $f$ et $g$ définies, dans $\R$, par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (3x + 1)^2(3x - 1)^2 - 4(3x + 1)^2,\\
g(x) &=&9x(3x + 2)(2x - 5)(x +1) + 3(x + 1)(2x - 5).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme d'un produit de fonctions polynômes de degré au plus égal à un.
\item Résoudre, dans $\R$, les équations 
\begin{center}$f(x) = 0$\quad  puis \quad $g(x) = 0$.\end{center}

\item On considère la fonction rationnelle $q$ définie par 
\[\begin{array}{l l c l}
q:&\R&\to& \R,\\
&x &\longmapsto&\dfrac{f(x)}{g(x)}.
\end{array}\]

Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_q$ de la fonction rationnelle $q$.
\item Simplifier dans $\mathcal{D}_q$ l'écriture de $q(x)$.
\item Calculer, si elles existent, les images par $q$ des
réels $- 6$, 0 et $- \dfrac13$.
\item Résoudre dans $\mathcal{D}_q$ les équations suivantes : 
\begin{center}$q(x) = \dfrac32$\qquad  puis \qquad $q(x) = 0$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un plan euclidien $(P)$ muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B et C définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} = 10\vect{\jmath},\qquad  \vect{\text{OB}} = - 5\vect{\imath}$\quad  et \quad $\vect{\text{OA}} = 5\vect{\imath} + 5\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\item Quelle est la nature du triangle (A, B, C) ?
\item Calculer les coordonnées du point Ddu plan tel
que le quadruplet (A, B, C, D) soit un losange.
\item Soit I le centre du losange ; calculer $d$(A, I).

On désigne par $u$ l'écart angulaire en degrés de
l'angle géométrique $\widehat{\text{ABI}}$.

Sachant que $3,162 < \sqrt{10} < 3,163$, calculer $\sin u$ et
en déduire la valeur approchée par défaut de $u$ à un degré près.
\item Soit E le point défini par $\vect{\text{OA}} = 6\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{AE}}$ sont  orthogonaux.
		\item Calculer $d$(B, E).
		\item En déduire que E est l'image de A dans la symétrie orthogonale par rapport à (BC).
	\end{enumerate}

\item On pose (AD) $\cap$ (BE) = $\{\text{F}\}$.

Montrer que B est le milieu de [F{}, E].

En déduire les coordonnées de F{}.
\item Montrer que les points F{}, A, C et E appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\end{enumerate}
\end{document}