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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%pdfauthor = {APMEP},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

On considère les deux fonctions polynômes $f$ et $g$ définies par
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R& \to& \R\\
&x&\longmapsto&(5x - 4)^2 - (2x + 1)^2,\\
g :&\R& \to& \R\\
&x&\longmapsto&(3x - 5)^2 - (3x - 5)(2x - 7).
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(x)$ et $g(x)$ sont des polynômes de degré deux.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de polynômes de degré un.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(- 2)$ et $f\left(\sqrt 3\right)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 0$.
	\end{enumerate}	
\item On considère les fonctions polynômes $P$ et $Q$ définies par
\[\begin{array}{l  c l}
P(x)& = &(3x - 5)(7x - 3),\\
Q(x)& = &(3x -5)(x + 2).
\end{array}\]

Soit $h$ la fonction rationnelle définie par 
\[\begin{array}{l l c l}
h :& \R& \to& \R\\
&x&\longmapsto&\dfrac{P(x)}{Q(x)}
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_h$ de la
fonction rationnelle $h$.
		\item Simplifier dans $\mathcal{D}_h$ l'écriture de $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 5\right)$ et exprimer le résultat sous la forme

\begin{center}$h\left(\sqrt 5\right)= a + b\sqrt 5$\: avec \: $a\in \Z$ et $b \in \Z$.\end{center}

		\item Résoudre dans $\R$ les équations
\begin{center}$h(x) = 0$\quad puis \quad $h(x) = \dfrac{26}{11}$.\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans tout le problème, si M et N sont deux points du plan euclidien, on notera MN le nombre réel $d$(M, N).

Le plan $(P)$ étant rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C définis par
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = -2\vect{\imath} + 3\vect{\jmath},\qquad  \vect{\text{OB}} = 4\vect{\imath}, \qquad \vect{\text{OC}} = 5\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AB}}, \:\vect{\text{BC}}$ et
$\vect{\text{AC}}$.
\item Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle en B.
\item On considère l'application $S$ de $(P)$ dans $(P)$ qui à tout point M de coordonnées $x$ et $y$ dans le repère \Oij{} associe le point M$' = S$(M) de coordonnées $x'$ et $y'$ telles que 
\[\begin{array}{l c l}
x' &=&y \quad\text{et}\\
y' &=& x.
\end{array}\]
On pose A$'= S$(A), B$'= S$(B), C$'= S$(C).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points A$'$, B$'$ et C$'$.
		\item Montrer que l'ensemble des points du plan invariants par $S$ est la droite 
		$(\Delta)$ dont une équation est $x - y =0$ dans le repère \Oij.
		
(L'ensemble des points du plan invariants par $S$ est l'ensemble des points N du plan tels que $S$(N) =N).
		\item Soit M le point du plan défini par 
		\[\vect{\text{OM}} = x\vect{\imath} + y\vect{\jmath}\: (x \in \R,\: y \in \R, \:x \ne y).\]
		
On pose M$' = S$(M). 

Montrer que $(\Delta)$ est la médiatrice du segment [M, M$'$].

En déduire la nature de l'application $S$.
\end{enumerate}
\item Montrer que le triangle (A$'$, B$'$, C$'$) est rectangle
en B$'$,
\item Soit $u$ l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAC}}$.

Calculer $\tan u$ et en déduire la valeur approchée par défaut de $u$ à un degré près.
\end{enumerate}
\end{document}