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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1983}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ une application, de $\R$ dans $\R$, définie par

\[f(x) = (2x + 3)^2 - (5- x)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner f(x) suivant les
puissances décroissantes de x.
\item Écrire $f(x)$ sous la forme d'un produit de
facteurs du premier degré par rapport à $x$.
\item Calculer $f(0)$,\: $f\left(\dfrac13\right)$ et $f\left(\sqrt 2\right)$.
\item Résoudre, dans $\Z$, l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On paie une somme de $170$~F avec $21$ pièces de $10$ F ou de $5$ F.

Combien y a-t-il de pièces de chaque sorte ?

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans le plan P muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points

\begin{center}R$(3~;~-2)$,\quad  S$(-3~;~0)$,\quad T$(-5~;~6)$\quad et \quad  U(1~;~4).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire la droite $\Delta$ dont une équation est $x -y +3 = 0$.
\item Montrer que les points S et U appartiennent à la droite $\Delta$.
\item Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [RT] et les coordonnées du point M$'$ milieu du segment [SU].

Que peut-on en conclure pour les points M et M$'$?

Que dire alors de la nature du quadrilatère (RSTU) ?
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{RT}}$ et $\vect{\text{SU}}$ sont orthogonaux.

Que peut-on en déduire concernant le parallélogramme (RSTU) ?
\end{enumerate}
\end{document}