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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1972~\decofourright\\[6pt]Enseignement long et enseignement court}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne les expressions suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A &=& (4x - 1) (- 2x - 3) - (4x - 1) (3x + 2) + 16x^2 - 1\:\text{et}\\
B &=& (3x + 2)^2 - (x - 3)^2, 
\end{array}\]
où $x$ est un réel.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ et $B$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Soit la fraction $F = \dfrac{A}{B}$ ; pour quelles valeurs de $x$ cette fraction n'est-elle pas définie ?

Simplifier $F$.
\item Dans un repère orthonormé $(x'\text{O}x,~y'\text{O}y)$ (le centimètre étant l'unité), construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives
\begin{center}$y_1 = -x - 4$ \quad et\quad e $y_2 = 2x + 5$.\end{center}

Calculer les coordonnées de P, point d'intersection de
ces deux droites.
\item $\left(D_1\right)$  coupe $y'y$ en M et $\left(D_2\right)$  coupe $y'y$ en N.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point N.
		\item Déterminer l'équation de la droite $\left(D_3\right)$ perpendiculaire à $\left(D_1\right)$ et passant par N.
		\item Déterminer l'équation de la perpendiculaire à $y'y$
passant par P.
		\item Déduire des questions b. et c. les coordonnées de
l'orthocentre, H, du triangle (MNP).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un cercle (O) de centre O et de rayon $R$
et une corde [AB] de ce cercle, de longueur $R$.

On appelle H le milieu de cette corde.

Sur le support de (AB), à l'extérieur du segment [AB],
on considère le point C, distinct de B, tel que AC $= R$.

De ce point C on mène la tangente au cercle (O) telle que son point de contact T et le point O soient situés dans le même demi-plan limité par la droite (AB).

La droite (TO) coupe la droite (AB) en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction du rayon $R$, les mesures des segments [CT] et [OH].
\item Montrer que les triangles (CTD) et (OHD) sont semblables.

Calculer le rapport de similitude du triangle (CTD) au
triangle (OHD).
\item Montrer que le quadrilatère (OHCT) est inscriptible
dans un cercle(O$'$), dont on précisera le centre O$'$, et dont on exprimera le rayon, $R'$, en fonction de $R$.
\item Exprimer, en fonction de $R$, la puissance du point A
par rapport au cercle (O$'$).

En déduire la mesure du segment [O$'$A) en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}