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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&\dfrac23 x + \dfrac{13}{3},\\
y&=&- \dfrac32 x + \dfrac{39}{4}.
\end{array}\right.\]

\item Sur le même système d'axes $x'$O$x$, $y'$O$y$ représenter graphiquement chacune des deux fonctions précédentes.
\item Vérifier graphiquement le résultat du 1.
\item Le graphique de la première fonction coupe $x'$O$x$ en B.

Le graphique de la deuxième fonction coupe $x'$O$x$ en C.

Les deux graphiques précédents se coupent en A.

Comparer OA et BC.
\item En déduire que le triangle BAC est rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de centre O et de diamètre [AB].

Une corde [CD] de milieu I est parallèle à (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la différence des angles $\widehat{\text{C}}$ et $\widehat{\text{D}}$ du triangle ACD est égale à un angle droit.
\item Démontrer la relation 
\begin{center}$\overline{\text{Ah}}^2 =$ hC $\times $ hD,\end{center} si h est la projection de A sur (CD).
\item Soit H l'orthocentre du triangle ACD.

Quelle est la nature du triangle ACH ?
\item Soit G le centre de gravité du triangle ACD.

Sur quelle ligne se déplace le point G si, A et B restant fixes, la corde [CD] varie en restant parallèle à elle-même ?

Le point G peut-il décrire cette ligne en entier ?
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. - }{\footnotesize 
Les quatre questions sont indépendantes}
\end{document}