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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit le polynôme 
\[A(x) = x^2 + 8x + 15.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel nombre faut-il lui ajouter pour qu'il soit le carré d'un binôme ?

Quel est ce carré ?

En retranchant de ce carré le nombre précédemment ajouté, écrire le polynôme $A(x)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Par quels nombres entiers, positifs ou négatifs, peut-on diviser 2 pour obtenir un quotient entier ?

Calculer les valeurs de $x$ pour lesquelles la fraction
$\dfrac{2}{x + 3}$ est un nombre entier positif ou négatif.
\item Transformer l'expression $1 + \dfrac{2}{x + 3}$ en une fraction et construire les courbes représentatives des fonctions
\begin{center}$y_1 = x + 5$,\qquad et \qquad  $y_2 = x + 3$.\end{center}
\item Lire sur le graphique la valeur du rapport $\dfrac{x + 5}{x + 3}$
 pour les valeurs de $x$ trouvées dans la deuxième question.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle équilatéral ABC, de côté $a$ ; sur ses trois côtés, et extérieurement à ce triangle, on construit les carrés ACEF{}, BCKL, ABDG. Les diagonales du carré ACEF se coupent en O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mener la hauteur [AH] du triangle ABC.

Démontrer que le quadrilatère OAHC est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre et le rayon, et calculer la valeur de l'angle $\widehat{\text{OHC}}$.
\item Démontrer que les triangles GAH et FAH sont égaux et que (HA) passe par le milieu M de [GF].

Quelle est la valeur des angles du triangle AFG ?
\item Calculer le périmètre et l'aire de l'hexagone FEKIDG en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}