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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Caen}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un axe $x'$O$x$ et, sur cet axe, deux points A
et B tels que OA $= - 2$, OB $= 3$ et un point variable M tel que OM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\overline{\text{MA}},\: \overline{\text{MB}}$ et la valeur $y$ du rapport 
$\dfrac{\overline{\text{MA}}}{\overline{\text{MB}}}$.
\item Quelles valeurs prend $y$ pour $x = 2$,  pour $x = - 5$ ?

Montrer que, pour $x = \sqrt 2$, on a $y= - \dfrac{8 + 5\sqrt 2}{7}$.
\item Construire sur le même graphique les droites 
\begin{center}$D_1 \qquad y_1 = x + 2,\qquad y_2 = x - 3$ \quad et $x = - 1$. \end{center}
\item Pour quelles valeurs de $x$ le rapport $\dfrac{\overline{\text{MA}}}{\overline{\text{MB}}}$ est-
égal à $- \dfrac23$,\: à $- \dfrac14$ ?

Vérifier les résultats trouvés en utilisant le graphique du 3.
\item Trouver l'équation de la droite parallèle à l'axe des abscisses qui coupe l'axe des ordonnées, la droite $D_1$ et la droite $D_2$ respectivement en des points P, Q, R tels que Q soit le milieu de [PR].
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC rectangle en A et isocèle.

On prend un point P sur [BC] entre B et C puis, par P, on mène la parallèle à (AB), qui coupe (CA) en B$'$, et la parallèle à (CA), qui coupe (AB) en C$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère PB$'$AC$'$ ?

Justifiez votre réponse.

Montrer que les points P, B$'$, A, C$'$ et le milieu M de [BC] se trouvent sur un même cercle, dont on précisera le centre O.

Quand le point P varie, sur quelle ligne se déplace le point O ?
\item Montrer que le triangle MB$'$C$'$ est rectangle isocèle.

On prolonge [AM] d'une longueur MD égale à AM.

Comparer les directions de la droite (DP) et de la médiane du triangle MB$'$C$'$ issue de M.

En déduire que la droite (DP) est perpendiculaire à (B$'$C$'$).
\item On désigne par $a$ la longueur du côté [BC] du triangle ABC et l'on suppose que BP $= 3$PC.

Calculer PB$'$, PC$'$, B$'$C$'$ et l'aire du quadrilatère BCB$'$C$'$ en fonction de $a$.

\end{enumerate}
\end{document}