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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1957}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On donne l'expression
\[E(x) = \left(\dfrac34 x - \dfrac12\right)^2-  \left(\dfrac54 x + 1\right)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer l'expression $E(x)$, puis l'écrire sous forme d'un polynôme ordonné.

Calculer la valeur de $E(x)$ pour $x = \dfrac14$ pour $x= -\dfrac74$.

\item Écrire l'expression $E(x)$ sous forme d'un produit de deux facteurs.

Pour quelles valeurs de $x$ s'annule- t-elle ?
\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant graphiquement les fonctions

\begin{center}$y_1 = 2x + \dfrac12$, \qquad et \qquad $y_2  = - \dfrac x2 - \dfrac 32$.\end{center}

(On prendra 2 cm pour représente une unité sur chaque axe.)

\item Par un point M de l'axe des $x$ on mène la parallèle à l'axe des $y$, qui rencontre les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ en A et B.

Si $x_1$ désigne l'abscisse de M, évaluer $\overline{\text{MA}}$ et $\overline{\text{MB}}$ en fonction de $x_1$.

Est-il possible de choisir $x_1$ pour que M soit le milieu de [AB] ? Vérifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne deux cercles (O) et (O$'$), de rayons 4~ cm et 3~cm, qui se coupent en A et B, et l'on suppose que l'angle $\widehat{\text{OAO}'}$ est droit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer OO$'$, AB et, M désignant l'intersection de (OO$'$) et de (AB), calculer OM et O$'$M.
\item La droite (OO$'$) coupe le cercle (O$'$) en  C et D.

Par ces points, on mène les tangentes au cercle (O$'$), qui coupent (OA) en C$_1$ et D$_1$.

Comparer les triangles OCC$_1$ et ODD$_1$ au triangle OAO$'$?

Calculer CC$_1$ et DD$_1$.
\item Sur la droite (AB), extérieurement au segment [AB], on prend un point P tel que 

PA $= \dfrac53$ PB.

Calculer, à 1 mm près, PM, PO et PO$'$.
\item Calculer la valeur des tangentes des angles $\widehat{\text{PCM}}$ et $\widehat{\text{PDM}}$ et l'aire du quadrilatère PCAD.
\end{enumerate}
\end{document}