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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen juin 1959}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{500}$, un champ ayant la forme d'un quadrilatère ABCD est déterminé par les coordonnées suivantes, exprimées en centimètres : 
\begin{center}
\begin{tabular}{l l}
A$(x=5~;~y=- 3)$ ;& B$(x = - 6~;~y = - 3)$;\\
C$(x=- 6~;~y = 5)$ ;& D$(x=- 1~;~y = 9)$.
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer sur le plan la surface du quadrilatère ABCD el en déduire la surface du champ.
\item On construit une route définie sur le plan par une bande dont les limites sont les droites d'équation
\begin{center}$y = \dfrac x2 - 3$\qquad et\qquad $y = \dfrac{x - 1}{2}$.\end{center}

Tracer la route sur le plan.

Déterminer les intersections de la route et des limites du champ.
\item Calculer la surface du champ empruntée par la route.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit un losange ABCD de côté $a$, dont l'angle $\widehat{\text{A}}$ mesure $60\degres$ et dont les diagonales se coupent en O.

Soit une droite $\Delta$ qui pivote autour de A sans couper le losange.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit une position quelconque de $\Delta$.

On prolonge les côtés [CB] et [CD] jusqu'à leur intersection, B$'$ et D$'$ avec $\Delta$.

Établir la similitude des triangles B$'$BA et ADD$'$ ; pour quelle position de $\Delta$ ces triangles sont-il égaux ?
\item On abaisse de O la perpendiculaire (OG) sur $\Delta$.

Quelles sont les longueurs minimum et maximum du segment [OG] ? Les calculer en fonction de $a$.
\item Sur quelle ligne se déplace le point G ?

Limiter avec précision et calculer la longueur de l'arc ainsi déterminé.
\item On suppose que $\Delta$ fait avec la diagonale (AOC) un angle de $60\degres$.

Faire la figure exacte, en prenant $a = 6$ cm, et calculer dans ce cas le périmètre du trapèze BAD$'$D.
\end{enumerate}
\end{document}