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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen\footnote{Japon} juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire, par rapport aux axes rectangulaires O$x$ et O$y$, les droites 
\begin{center}$D_1$ d'équation $y= - 2(x - 6)$ et
$D_2$ d'équation $y = \dfrac{x + 5}{2}$.\end{center}

\item Calculer les coordonnées de leur point d'intersection, M.
\item Soient A le point d'intersection de $D_1$ avec O$x$, B le point d'intersection de $D_2$ avec O$x$ et H la projection de M sur O$x$.

Calculer les mesures des segments orientés $\overline{\text{HA}}$ et $\overline{\text{HB}}$.
\item À l'aide d'une relation métrique entre HM, $\overline{\text{HA}}$ et $\overline{\text{HB}}$, démontrer que l'angle $\widehat{\text{AMB}}$ est droit.
\item Soit A$'$ le point symétrique de A par rapport à H.

Quelle est l'abscisse de A$'$ ?

Exprimer en fonction de $\alpha = \widehat{\text{MAB}}$ les angles du triangle MA$'$B.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle de centre O et de rayon $R = 3$~cm.

On prolonge un diamètre [AB] d'une longueur BC égale au rayon et l'on élève en C la perpendiculaire à (AC).

On prend CD $= R \sqrt 3$ sur cette perpendiculaire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AD. Particularité du triangle AOC. Calculer DB. Particularité du triangle OBC.
En déduire que DB est bissectrice de l'angle O.
\item (DA) coupe le cercle en E et (DB) en F{}.

Prouver la similitude des triangles AEB et DAC.

Calculer AE, EB.
\item Montrer que les points A, F, C, O sont sur un même cercle, dont on précisera le centre.
\item Montrer que les droites (AF), (EB), (OC) sont concourantes. I étant leur point de concours, quelle est la nature du triangle AOI et quelle est la mesure de EI ?
\end{enumerate}
\end{document}