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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

Soit le polynôme
\[A(x) = (x + 2)(2x - 3) - (2x - 3)^2 + 4x^2 - 9.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le développer et l'ordonner suivant les valeurs décroissantes de $x$.
\item Quelles sont les valeurs numériques de $A(x)$ pour
\[x = \sqrt  3,\qquad  x = - 5, \qquad  x = \dfrac32 \:?\]

\item Mettre le polynôme $A(x)$ sous forme d'un produit de facteurs et résoudre l'équation $A(x) = 0$.
\item Simplifier l'expression
\[E(x) = \dfrac{2x^2 + 13x - 24}{x + 8}.\]

Représenter graphiquement la fonction de $x$ trouvée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un segment [AB] de longueur $20$.

Au milieu, M, de [AB] on mène la perpendiculaire à ce segment, sur
 laquelle on porte, de part et d'autre de [AB], MD $= 2$
et MC $= \dfrac a2$.

De B, on abaisse la perpendiculaire (BE) sur la droite (AD).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, C, B, E sont situés sur un même cercle, que l'on déterminera.
\item Calculer, en fonction de $a$, les longueurs des segments [AC], [BC], [AD], [AE] et [BE].
\item Démontrer que (EC) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{AEB}}$.
\item (EC) coupe (AB) en P. Établir une relation entre les longueurs
 PA, PB, PE et PC.
\end{enumerate}
\end{document}