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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen\footnote{Rouen} juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Soit les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(6x - 9)- (2x - 3)^2,\\
B(x)&=&4x^2 - 9.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A(x)$ et $B(x)$.
\item Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ et calculer la valeur numérique de l'expression simplifiée pour $x = - \dfrac13$.
\item Résoudre l'équation 
\[\dfrac{2(3 - x)}{2x + 3} = - \dfrac23.\]
\item Soit les fonctions
\begin{center}$y_1 =2(3 - x)$\qquad et \qquad $y_2 = 2x + 3$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur les mêmes axes de coordonnées rectangulaires $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ les graphes $\left(D_1\right)$ de $y_1$ et $\left(D_2\right)$ de $y_2$  (unité graphique : 1 cm.)
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection A de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
	\end{enumerate}
\item On mène par un point H de $x'\text{O}x$ la perpendiculaire à $x'\text{O}x$, qui coupe $\left(D_1\right)$ en B et $\left(D_2\right)$ en C.
	\begin{enumerate}
		\item L'abscisse de H étant $- \dfrac13$, calculer $\dfrac{\overline{\text{HB}}}{\overline{\text{HC}}}$.
		\item Inversement, connaissant $\dfrac{\overline{\text{HB}}}{\overline{\text{HC}}} = - \dfrac23$, calculer l'abscisse de H.
		\item Peut-on déterminer l'abscisse de H pour que H soit le milieu de [BC] ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Sur une droite $xy$, on place, dans l'ordre, les points fixes A, B et C tels que AB $= 2 R$, AC $= 2 R'$.

D'un côté de cette droite $xy$ on trace le demi-cercle de diamètre [AB] et, de l'autre côté, le demi-cercle de diamètre [AC].

Soit H un point variable du segment [AB].

On pose AH $= x$ ; on mène par H la perpendiculaire à (AB), qui coupe le demi-cercle de diamètre [AB] en M et le demi-cercle de diamètre [AC] en N.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la particularité du triangle AMB ?

En déduire le calcul de AM en fonction de $x$ et $R$ et celui de AN en fonction de $x$ et de $R'$. 

Calculer le rapport $\dfrac{\text{AM}}{\text{AN}}$.
\item Les droites (BM) et (CN) se coupent en P.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le quadrilatère AMPN est inscriptible.
		\item Comparer les angles $\widehat{\text{APM}}$ et $\widehat{\text{ACN}}$.
		\item Comparer les triangles APR et ACP.
		\item En déduire le calcul de AP.
	\end{enumerate}
\item La perpendiculaire en B à (AC) coupe le demi-cercle de diamètre [AC] en Q.

Démontrer, en comparant AP et AQ, que le triangle APQ est isocèle.
\end{enumerate}
\end{document}