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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1967~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer en un produit de facteurs du premier degré chacune des expressions algébriques suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(x + 1)^2(x - 2)- \left(x^2 - 4\right)(x + 1),\\
B(x)&=& 8 - 2x^2
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction rationnelle $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Pour quelles valeurs de $x$ cette fraction est-elle nulle ; est-elle égale à l'unité ?
\item Représenter graphiquement, par rapport à un système d'axes rectangulaires, les deux fonctions de $x$
suivantes :
\begin{center}$y_1 = x +1$,\qquad et\qquad  $y_2 = 2x + 4$.\end{center}

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de ces deux courbes représentatives ?

Vérifier par le calcul.
\item Retrouver sur le graphique les résultats de la question 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un angle $\widehat{x\text{A}y} = 60\degres$.

Sur A$x$ deux points, B et C, sont placés de façon que
AB $= 4$~cm et AC $= 7$~cm.

La perpendiculaire à A$x$ en B coupe A$y$ en D et la perpendiculaire menée de C à A$y$ coupe A$y$ en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ADB et ACE sont semblables.

Quel est leur rapport de similitude ?
\item Calculer les longueurs des segments [AE] et [AD].

En déduire que les triangles ADC et ABE sont semblables.

Indiquer leur rapport de similitude.
\item Quelle particularité présente le quadrilatère BDEC ? 

Calculer les longueurs des segments [BD] et [EC], puis [EB] et [DC].
\end{enumerate}
\end{document}