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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'expression $y = (5 - 2x)^2 - (3x + 1)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre cette expression sous la forme d'un polynôme ordonné.

Calculer sa valeur numérique à $\dfrac{1}{10}$ près par défaut
pour $x = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item Mettre $y$ sous forme d'un produit de deux facteurs.

Calculer les valeurs de $x$ pour lesquelles $y = 0$.
\item Indiquer le sens de variation des fonctions
\[y_1 = x + 6 \quad \text{et}\quad y_2 =4 - 5x,\]

puis représenter $y_1$ et $y_2$ sur un même graphique.

Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection des deux courbes.

Vérifier par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Les angles $\widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$ d'un triangle ABC mesurent
respectivement $70\degres$ et $50\degres$ ; le cercle de diamètre [BC]
coupe (AB) en D et (AC) en E ; (CD) et (BE) se coupent en H ; (AH) coupe (BC) en K.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (AK) est perpendiculaire à (BC).
\item Le cercle de diamètre [AK] coupe (AB) et (AC) respectivement en P et Q.

Montrer que les produits $\overline{\text{AP}} \cdot \overline{\text{AB}}$ et $\overline{\text{AQ}} \cdot \overline{\text{AC}}$ sont égaux.
\item Quelles sont les mesures, en degrés, des angles $\widehat{\text{BPQ}}$ et $\widehat{\text{CQP}}$ ?
\item Comparer les produits $\overline{\text{AD}} \cdot \overline{\text{AB}}$ et $\overline{\text{AE}} \cdot \overline{\text{AC}}$, puis les rapports $\dfrac{\overline{\text{AP}}}{\overline{\text{AD}}}$  et $\dfrac{\overline{\text{AQ}}}{\overline{\text{AE}}}$.

En déduire que (PQ) et (DE) sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{document}