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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen juin 1969}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre l'expression 

\[y = (5x + 1)(3x + 8) + (5x + 1)(x - 2) - \left(25x^2 - 1\right)\]

sous la forme :
	\begin{enumerate}
		\item d'un produit de deux binômes, $y_1$ et $y_2$ du premier degré ;
		\item d'un polynôme ordonné.
	\end{enumerate}
\item Résoudre les équations $y = 0$ et $y = 7$.
\item Construire dans un repère orthonormé les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentatives des fonctions
\begin{center}$y_1 = 5x + 1$\qquad  et \qquad $y_2 = 7 - x$.\end{center}
\item $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$  coupent l'axe des abscisses respectivement aux points A$_1$ et A$_2$ et se coupent en P.

Quelles sont les coordonnées des trois points A$_1$ A$_2$ et P ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Deux triangles rectangles isocèles, BAC et ADC, rectangles en A et en D, ont le côté [AC] commun et sont placés de part et d'autre de ce côté commun.

On pose AB  = AC $= a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze
rectangle.

Calculer les longueurs BC, AD et celle de la diagonale [BD].
\item Soit O le point de concours des diagonales du trapèze.

Montrer que les deux triangles AOD et COB sont semblables.

Quel est leur rapport de similitude ?

En déduire la longueur des segments [OA], [OB], [OC] et [OD] en fonction de $a$.
\item Le cercle de diamètre [BC] coupe (BD) en K

Montrer que [CK] est la hauteur du triangle BCD.

Calculer DK et KO.
\end{enumerate}
\end{document}