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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les expressions 
\[\begin{array}{l c l}
A &=&(x + 2)^2 - (2x + 3)^2, \text{et}\\
B &=& (3x + 5)^2 - (3x + 5)(2x + 1).
\end{array}\]

\item Simplifier la fraction $\dfrac AB$.

La simplification est-elle toujours justifiée?
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $B = 1$ ?
\item On construit dans un repère orthonormé les
droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ d'équations respectives 
\begin{center}$y_1 = - x - 1$\qquad et \qquad $y_2 = x + 4$\end{center}

La droite $\left(D_1\right)$ coupe l'axe $y'$O$y$ en B, la droite $\left(D_2\right)$
coupe $y'$O$y$ en C.

Les deux droites se coupent en A.

Calculer le coordonnées du point A et montrer que l'on retrouve ainsi le résultat de la question 3.
\item Montrer que le triangle ABC est rectangle et calculer les coordonnées des points B et C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un triangle rectangle isocèle ABC dont l'hypoténuse est [BC].

On donne AB $= 2a$.

Par le milieu M de [AB], on mène la perpendiculaire (MH) à (BC- qui coupe la parallèle à (AC) menée par B en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère AMHC est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre O.

Quelle est la valeur de l'angle $\widehat{\text{AMH}}$ ?
\item Calculer la longueur du segment [BC].

Quelle est la nature du triangle BMD ?
\item Comparer les triangles MBD et CAB.

Quel est leur rapport de similitude ?

Calculer MH, puis HC.
\item Quelle est la nature du triangle MCD ?

Calculer la longueur du segment [CD].
\end{enumerate}
(\textbf{N.B. -} Les calculs des longueurs des segments sont à faire en fonction de $a$.)
\end{document}