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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Besançon}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Caen~\decofourright\\[6pt] juin 1971}}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES

\medskip

\textbf{ALGÈBRE} 

\end{center}

On donne l'expression algébrique

\[F(x) = \left(x^2 +3x - 10\right)^2 - \left(x^2- 3x- 8\right)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $F(x)$ en un produit de facteurs du premier degré.
\item Résoudre l'équation $F(x) = 0$.
\item Décomposer l'expression

\[E(x) = x^3 - 9x + \left(x^2- 9\right).\]

\item Simplifier la fraction rationnelle

\[y = \dfrac{F(x)}{E(x)}.\]

Soit $y'$ la fraction simplifiée. Calculer la valeur de $y'$ pour $x = \sqrt{3}$.
\item Trouver pour quelles valeurs de $x$
	\begin{enumerate}
		\item la fraction $y'$ est nulle
		\item la fraction $y'$ est égale à $-12$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}

\textbf{GÉOMÉTRIE} 

\end{center}


Toutes les mesures de segments sont exprimées en centimètres.

On considère trois points alignés A, B, C se succédant dans cet ordre et tels que AB $= 8$ et BC $= 3$.

D'un même côté de (AC), on mène les demi-droites A$x$ et C$y$ perpendiculaires à (AC).

On place sur A$x$ le point D et sur C$y$ le point E tels que AD $ = 6$ et CE $= 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles DAB et ECB sont semblables.
\item Quelle est la nature du triangle DBE.

Calculer les mesures des côtés de ce triangle, puis déterminer le centre O et le rayon de son cercle circonscrit.
\item De B on mène la perpendiculaire (BH) à (DE).

Calculer la mesure BH.
\item Quelle est la puissance du point H par rapport au cercle circonscrit au triangle DBE ?
\end{enumerate}
\end{document}