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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction polynôme $B$, dans $\R$ définie par
\[B(x) = x^2 - 25.\]

Mettre $B(x)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item Soit la fonction polynôme $A$ dans $\R$ définie par
\[A(x) = (x + 1)(x + 3) + 6x + 22.\]

Développer, réduire et ordonner $A(x)$, puis, en parlant du résultat obtenu, mettre $A(x)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item Soit la fonction rationnelle $h$ dans $\R$ définie par
\[h(x) = \frac{A(x)}{B(x)}.\]

Sur quel ensemble, $E$, la fonction $h$ est-elle définie ?

$x$ étant élément de $E$, résoudre dans $\R$, l'équation
\[\dfrac{x + 5}{x - 5} = -2.\]

\item Un plan (P) est rapporté à un repère orthonormé \Oij{} (l'unité de longueur est 1~cm).

Construire la représentation graphique, $F$, de la
fonction polynôme $f$ dans $\R$ définie par 
\[f(x) = x + 5,\]
puis la représentation graphique, $G$, de la fonction polynôme $g$ dans $\R$ définie par
\[g(x) =- 2x + 10.\]

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection
de $G$ avec $F$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan $(P)$ rapporté au repère orthonormé
\Oij, les points A, B et C sont tels que
\begin{center}$\vect{\text{OA}} = -3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath},\quad \vect{\text{OB}} = -5\vect{\imath}$\quad et \quad $\vect{\text{OC}} = 5\vect{\imath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d$(A, B), $d$(A, C) et $d$(B, C).

En déduire que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
\item Calculer les coordonnées du milieu, I, du segment [AC] et les coordonnées du point D, symétrique de I par rapport à O.

Montrer que le quadruplet (A, B, D, I) définit un parallélogramme.
\item Démontrer que les quatre points A, B, D et I sont éléments d'un cercle 
$(\mathcal{C})$.

Quelles sont les coordonnées de son centre, K ? Calculer son rayon.
\item Quel est la position de la droite (CD) par rapport au cercle $(\mathcal{C})$ ?
\item $u$ désignant l'écart angulaire (exprimé en degrés) 
de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAD}}$, calculer $\sin u$.
\end{enumerate}
\end{document}