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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit les fonctions $k, f$ et $g$ définies respectivement sur $\R$ par 

\[\begin{array}{l c l}
k(x) &=&(8x - 5)^2 - (1 - 3x)^2\\
f(x) &=&k(x) + 5x^2 - 4x\\
g(x)&=&25x^2 - 40x + 16 + (8 - 10x)(x + 4)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions polynômes de degré 2.
\item Factoriser $k(x)$ puis $f(x)$ et $g(x)$.
\item Soit $q$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie par 
\[q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_q$ de cette fonction puis simplifier l'écriture de $q(x)$.
\item Déterminer les images par $q$ des réels $\left(- \dfrac34\right)$ et $\sqrt 3$.

Donner les réponses sous forme d'un quotient dont le dénominateur est élément de $\N$.
\item Résoudre dans $\mathcal{D}_q$ l'équation $q(x) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points
\begin{center}A$(-1~;~6)$,\quad B$(-2~;~3)$,\quad C(7~;~0),\quad D$(3~;~-2)$,\quad E(3~;~8)\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées du point F tel que le quadruplet (A, B, C, F) soit un parallélogramme ?
		\item Montrer que (A, B, C, F) est un rectangle.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d$(B, D), $d$(B, E), $d$(D, E).
		
En déduire la nature du triangle (B, E, D).
		\item Montrer que le quadruplet (B, E, F, D) est un carré.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B, C, D, E, F appartiennent à un même cercle.


		\item Déterminer les coordonnées du centre I de ce cercle et calculer son rayon.
	\end{enumerate}
\item $a$ désigne l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\sin a$.
		\item Donner un encadrement à $10^{-2}$ 
près de $\sin a$ sachant que $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$.
		\item À l'aide d'une table trigonométrique, donner un encadrement de $a$ à un degré près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}