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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Caen}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Donner une valeur approchée à $0,01$ près par excès du nombre $A = \dfrac{5 + \sqrt 5}{5}$ .
(Une calculatrice affiche pour $\sqrt 5$ la valeur \np{2,2360679}.)

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Développer et simplifier

\[B = \sqrt 2\left(2\sqrt 3 - \sqrt 2 \right) - \sqrt 3 \left(2\sqrt 2 ) - \sqrt 3 \right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Simplifier l'expression

\[C = 2\sqrt{27} - 3\sqrt{75}  + 2\sqrt 3.\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Calculer $D = \dfrac{30}{80} - \dfrac{5}{40} + 0,25.$

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Développer et simplifier

\[E = \left(2x - \dfrac53 \right)(3x + 3).\]

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} avec $\left\|\vect{\imath}\right\| = \left\|\vect{\jmath}\right\| = 1$ ~(cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point A d'abscisse $(-2)$ sur $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$.
\item Calculer l'abscisse du point B tel que $\overline{\text{AB}} = 6$
 sur $\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$.
\item Calculer l'abscisse du milieu M du segment [AB].
\item Placer le point C, tel que $\overline{\text{OC}} = 3$ sur $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$.
\item Donner les coordonnées des points A, B, C dans le repère du plan.
\item Placer le point D de coordonnées $(2~;~-3)$.
\item Déterminer les coordonnées du milieu N du segment [CD].
\item Que peut-on en déduire pour le quadrilatère (ACBD) ?
\item Calculer AB$^2$, AC$^2$, BC$^2$.
\item Le triangle (ABC) est-il rectangle ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip


Deux sociétés de location de voitures A et B proposent les tarifs suivants à leurs clients. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sociétés&Prix en F par jour de location	&Prix en F du km parcouru\\ \hline
A		&150							&2,50\\ \hline
B		& 200							& 2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Un client loue un véhicule une journée à la société A.

Combien lui paiera-t-il s'il parcourt $50$ km? $100$ km? $200$ km?
\item Quelle somme $f(x)$ paiera-t-il s'il parcourt $x$ km ?
\item Représenter dans un repère orthogonal (unités : 1~cm pour $50$~km en abscisse, 1~cm pour $100$~F en ordonnée) les trois points représentant les solutions de la question 1., puis la demi-droite $(D)$ représentant l'application $f$ définie pour tout réel positif par $f(x) = 2,5x + 150$.

Que remarque-t-on ?
\item Calculer le coût de la location pour une journée près de la société B lorsqu'on parcourt $50$~km. Même question pour un parcours de $100$~km.
\item Quelle somme $g(x)$ paierait-il pour parcourir $x$ km ?
\item Représenter graphiquement dans le repère précédent (utiliser une deuxième couleur) l'application $g$ définie dans $R_+$.
\item Déterminer graphiquement pour quelle distance il aurait à payer la même somme dans les deux cas.
\item Le client a payé à la société A pour une journée $850$~F.

Quelle distance a-t-il parcouru?
\end{enumerate}
\end{document}