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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1991}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A, B$ et $C$ (on donnera les résultats sous forme de fractions aussi simples que possible) :

\[A = \dfrac53 + \dfrac35 \times \dfrac{25}{6} \qquad  B = 5 : \dfrac{35}{3} \qquad C = \left(- \dfrac52\right)^2\]

\item Développer :
\[\begin{array}{l c l}
D &=& \left(\sqrt 2 - 1\right)^2\\
E &=& \left(\sqrt 2 - 1\right)\left(3\sqrt 2 + 1\right)\\
F&=& (2x+1)^2- (3x - 2)(3x + 2).
\end{array}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser :

\[G= (5x- 1)^2- (7x + 2)(5x - 1).\]
		\item Résoudre l'équation :

\[(5x- 1)(- 2x - 3) = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Cinq pneus et trois chambres à air valent ensemble \np{1400}~F{}. 

Trois pneus et deux chambres à air valent ensemble 850 F.

Calculer le prix d'un pneu et celui d'une chambre à air.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\emph{Les exercices 1 et 2 sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en A tel que :

\[\text{AB} = 2,5 \text{cm et BC} = 6,5 \text{cm}.\]

Faire apparaître les traits de construction.
\item Calculer AC.
\item Calculer l'aire du triangle ABC.

Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC). 

Calculer AH. (On donnera le résultat au millimètre près par défaut.)
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour cet exercice, utiliser la feuille de réponse ci-dessous.

Le quadrillage qui figure sur cette feuille est constitué de triangles équilatéraux superposables.

Construire, en utilisant le quadrillage, les figures suivantes :

(On fera apparaître clairement le contour de chaque figure ainsi que son numéro)

\begin{itemize}
\item la figure 2, transformée de la figure 1 par la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$,
\item la figure 3, transformée de la figure 1 par la symétrie orthogonale d'axe $(\Delta)$,
\item la figure 4, transformée de la figure 1 par la symétrie de centre S,
\item la figure 5, transformée de la figure 1 par la rotation de centre O et d'angle $120\degres$ (dans le sens des aiguilles d'une montre).
\end{itemize}

\begin{center}

\textbf{FEUILLE  RÉPONSE}

\medskip

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(7,5.19615)
\psframe(7,5.19615)
\def\motif{\pspolygon(0,0)(0.5,0.866025)(1.5,0.866025)(1,0)\psline(0.5,0.866025)(1,0)}
\multido{\n=-1+1}{8}{\rput(\n,0){\motif}}
\multido{\n=-0.5+1.0}{8}{\rput(\n,0.866025){\motif}}
\multido{\n=0.0+1.0}{8}{\rput(\n,1.73205){\motif}}
\multido{\n=-0.5+1.0}{8}{\rput(\n,2.598){\motif}}
\multido{\n=0.0+1.0}{8}{\rput(\n,3.4641){\motif}}
\multido{\n=-0.5+1.0}{8}{\rput(\n,4.33813){\motif}}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3,0)(0,1.732)
\uput[ur](3,0){A}\uput[ur](0,1.732){B}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0.866025)(3,1.732)(4,1.732)(4.5,2.598)(5,1.732)(4.5,0.866025)
\psline[linewidth=1.5pt](3,5.19615)(6,0)\uput[ur](5.75,.44){$(\Delta)$}
\rput(4.25,1.3){1}\uput[ur](4.5,2.598){O}\uput[u](3,1.732){S}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

Une pyramide régulière de sommet O a pour base un carré ABCD de côté 3 cm.

La hauteur (OI) du triangle OCB est telle que OI $= 2,5$ cm.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner un patron de cette pyramide.
\item Calculer l'aire de ce patron.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-1.2)(3.5,4.3)
\psline(1,-1)(3,1)(0,4)(2,0)(1.,-1)(0,4)(-3,-1)(1.,-1)%BCOIBOAB
\psline[linestyle=dashed](2,0)(0,0)(0,4)(-1,1)(3,1)%IHODC
\psframe(0,0)(0.2,0.2)\psline(2.15,0.15)(2.1,0.34)(1.9,0.15)
\psline[linestyle=dashed](-3,-1)(-1,1)%AD
\uput[l](-3,-1){A} \uput[dr](1,-1){B} \uput[r](3,1){C} \uput[l](-1,1){D}
\uput[u](0,4){O} \uput[l](0,0){H} \uput[dr](2,0){I}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Calculer la hauteur OH de la pyramide. 
\item Calculer le volume de la pyramide.
\item Par quel nombre $k$ faut-il multiplier toutes les dimensions du patron pour obtenir une pyramide de volume 48 cm$^3$ ?
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans la suite du problème, la pyramide régulière a encore pour base un carré ABCD de 3 cm de côté, mais la hauteur (OI) du triangle OCB est telle que OI $= x$ (en centimètres, avec $x > 1,5$).

On désigne par $h$ la hauteur de la pyramide, par A l'aire d'un patron $\left.(\text{en cm}^2\right)$ et par V le volume de la pyramide $\left.(\text{en cm}^3\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $A$ en fonction de $x$.
\item Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal, l'aire $A$ en fonction de $x$, avec $x$ compris entre 1,5 et 10 (en ordonnée 1cm représentera $10$ en cm$^2$).
\item Reproduire et compléter le tableau suivant ($h$ sera donné à $10^{-3}$ près par défaut et $V$ à $10^{- 2}$ près par défaut).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
$h$	&1,322 	&2,598	&		&		&5,809	&6,837\\ \hline
$A$	&		&		&		&		&		& 51\\ \hline
$V$	&3,96	&7,79	&		&14,30	&		&20,51\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles sont les valeurs entières de $x$ telles que $A < 50$ cm$^2$ et $V > 12$ cm$^3$ ?
\end{enumerate}
\end{document}