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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1992}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1992}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1992 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres $A$, $B$, $C$ et $D$.

On écrira chaque résultat sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le 
dénominateur sont-des-entiers les plus petits possibles.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2}
$\begin{array}{l l}
A = \dfrac{12}{16} - \dfrac{10}{15}&\quad
B = \dfrac54 - \dfrac34 \times \dfrac89\\
C = \left(\dfrac12 - \dfrac23\right) : \left(\dfrac23 - \dfrac32\right)&\quad
D = \dfrac{3 \times 10^5 \times 5,4 \times 10^{-3}}{ 0,9 \times 10^4}
\end{array}$\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire les nombres $E$ et $F$ sous la forme $a + b\sqrt{c}$ 
où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers ($c$ le plus petit possible) :

\begin{center}

$\begin{array}{l}
E = 2\sqrt{16} - 6\sqrt{7} - \sqrt{81} - \sqrt{700}\\
F = \left(2\sqrt{3} +1\right)^2- \left(\sqrt{3} + 2\right)\left(\sqrt{3} - 2\right)
\end{array}$
\renewcommand\arraystretch{1}\end{center}


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression suivante : $G = (2x - 3)^2 - 2(2x + 3)(2x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $G$.
\item  Résoudre l'équation $(2x - 3)(- 2x - 9) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Soit l'inéquation: $- 2x + 5 > 0$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans résoudre l'inéquation, répondre aux questions suivantes:

$\bullet~~$ $- 10$ est-il solution ?

$\bullet~~$$- 4$ est-il solution ?

$\bullet~~$ 5 est-il solution ?
\item Résoudre l'inéquation: $- 2x + 5 > 0$.

Représenter sur un axe l'ensemble des solutions.

Placer sur cet axe les points d'abscisses: $- 10~;~ - 4 ~;~ 5$
\end{enumerate}

%\begin{enumerate}
%\item
%\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On désire connaître l'aire d'un triangle, dont on donne une représentation ci-dessous.

Les longueurs sont exprimées en mètres.

L'angle $\widehat{\text{BAC}}$ a pour mesure $42\degres$.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(8,4.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.5)(7.4,0.5)(4.1,3.5)%%CAB
\psline(4.1,3.5)(4.1,0.5)%BH
\psframe(4.1,0.5)(4.3,0.7)
\psarc(7.4,0.5){0.5}{138}{180}\uput[ul](7,0.5){$42\degres$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0.3)(7.4,0.3)\uput[d](3.8,0.3){145}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.3,3.6)(7.5,0.7)\rput{-42}(5.95,2.45){90}
\uput[dr](7.4,0.5){A} \uput[u](4.1,3.5){B} \uput[l](0.2,0.5){C} \uput[ul](4.1,0.5){H} 
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Soit H le pied de la hauteur issue du sommet B. 

Déterminer BH (on donnera la valeur arrondie à $10^{-3}$ près).
\item En déduire l'aire du triangle en m$^2$ (cette valeur sera arrondie au mètre carré le plus proche).

On donne :

$\sin 42\degres \approx \np{0,66913}\: ;\quad  \cos 42\degres \approx  \np{0,74314};\quad\tan 42\degres \approx  \np{0,90040}$

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité est le centimètre.

ABC est un triangle rectangle en A tel que: AC $= 4,8$ et BC $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, en utilisant la règle et le compas, le triangle ABC (on laissera les traits de construction apparents).
\item Déterminer AB.
\item Soit D le point de [AC] tel que AD $= 1,8$.

La droite perpendiculaire à la droite (AC) et passant par D, coupe [BC] au point E.

Déterminer EC et ED.
\item I est le milieu de [BD].

Calculer EB. 

En déduire que les droites (EI) et (DB) sont perpendiculaires.

\item Calculer l'aire du trapèze ABED.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-1.5,-2.5)(1.5,0.8)
%\psgrid
\psellipse(0,0)(1.5,0.4)
\psellipticarc(0,-1.1)(0.65,0.2){180}{360}
\psline(-1.5,0)(-0.65,-1.1)(-0.65,-2.3)\psline(1.5,0)(0.65,-1.1)(0.65,-2.3)
\psellipticarc(0,-2.3)(0.65,0.2){180}{360}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Un château d'eau a la forme d'un tronc de cône représenté ci-dessous en trait plein. Précisons qu'un tronc de cône est la partie d'un cône comprise entre sa base et un plan parallèle à cette base. 

Dans tout le problème, nous négligerons l'épaisseur des parois.

Nous avons: OO$'$ = OA = OS $= 5$ (mètres).

\begin{center}
\psset{unit=1.cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-4.2,-4.3)(4.5,0.8)
%\psgrid
\psellipse(0,0)(4.2,0.8)
\psellipticarc(0,-1.8)(2.28,0.4){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-1.8)(2.28,0.4){0}{180}
\psline(-4.15,-0.1)(-2.3,-1.8)\psline(4.15,-0.1)(2.3,-1.8)
\psline[linestyle=dashed](-2.3,-1.8)(0,-3.9)
\psline[linestyle=dashed](2.3,-1.8)(0,-3.9)
\psline[linewidth=0.5pt](0,-3.9)(0,0)(4.2,0)
\psline[linewidth=0.5pt](0,-1.8)(2.3,-1.8)
\psframe(0,-1.8)(0.2,-2)
\uput[r](2.3,-1.8){A} \uput[r](4.2,0){B} \uput[d](0,-3.9){S} \uput[l](0,-1.8){O} \uput[l](0,0){O$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer O$'$B.
\item Déterminer le volume du cône $\mathcal{C}$ de sommet S et de base
le disque de rayon [OA]. Le résultat sera arrondi au mètre cube.

\medskip


Rappelons que le volume d'un cône est donné par la formule suivante:
\[V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h\]

où $\mathcal{B}$ représente l'aire de la base et $h$ la hauteur du cône.

\item Soit $\mathcal{C}'$ le cône de sommet S et de base le disque de rayon [O$'$B].

En constatant que le cône $\mathcal{C}'$ est un agrandissement du cône $\mathcal{C}$, montrer que le volume de $\mathcal{C}'$ est 8 fois plus grand que le
volume de ~.

Quel est alors le volume du cône $\mathcal{C}'$ ?
\item En déduire le volume du château d'eau.

Vous en donnerez une valeur approchée au mètre cube le plus proche.
\end{enumerate}
\bigskip

\bigskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

 Nous considérerons, dans la suite du problème, que, pour des raisons techniques le château d'eau ne peut contenir que $900$ m$^3$ d'eau.

La consommation moyenne en eau des particuliers s'élève à $2,25$ m$^3$ par minute.

Le château d'eau étant initialement plein, on désire connaître la quantité d'eau restante à chaque instant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la quantité d'eau restante au bout de $40$ minutes ? au bout de 6 heures?
\item On désigne par $V$ la quantité d'eau restante au bout de $t$ minutes. Exprimer $V$ en fonction de $t$.
\item Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement $V$ en fonction de $t$.

(Utiliser une feuille de papier millimétré. Prendre en abscisse
1 cm pour représenter $20$ minutes et en ordonnée 1 cm pour représenter $100$ m$^3$.)

Limiter le graphique aux valeurs possibles de $t$ et de $V$.
\item À l'aide d'une lecture graphique, estimer le temps mis (en heures et minutes) pour dépenser $500$ m$^3$ d'eau.

De même, estimer la quantité d'eau restante dans le réservoir au bout de 1~h~40~min.
\end{enumerate}
\end{document}