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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et écrire les résultats sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers les plus
petits possibles.

\[A = \dfrac{5}{12} - \dfrac79 + \dfrac34, \qquad B = \dfrac{15}{2} \times \left(\dfrac45 + \dfrac13 \right)\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $C =x^2 - 6x + 7$ 

\begin{enumerate}
\item Calculer $C$ pour $x = \sqrt 5$,
et écrire le résultat sous la forme $a + b\sqrt 5$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
\item Calculer $C$ pour $x = 3 + \sqrt 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $x^2 - 25$.
\item Soit l'expression $D = (x + 5)(3x + 1) + 2 \left(x^2 - 25\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item En factorisant $D$, démontrer que $D$ peut s'écrire sous la forme
$(x + 5)(5x - 9)$.
		\item Résoudre l'équation $D = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Pour équiper son espace technologique, un collège achète $5$ ordinateurs et $2$ imprimantes pour un coût total de \np{37300} F. 

L'année suivante, pour compléter le matériel, ce collège achète, aux mêmes tarifs, $3$ ordinateurs et une imprimante pour un coût total de \np{21900} F.

Quel est le prix d'un ordinateur, quel est le prix d'une imprimante ?

\bigskip

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le puzzle chinois découpé dans un carré est formé de 5 triangles rectangles isocèles \textcircled{1},  \textcircled{2}, \textcircled{3}, \textcircled{4}, \textcircled{5},, d'un parallélogramme \textcircled{6}, et d'un carré \textcircled{7}.

En observant le dessin de ce puzzle, répondre aux questions
suivantes :

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de B par la symétrie de centre F ?
\item Quelle est l'image de A par la symétrie d'axe (BD) ?
\item Quelle est l'image de H par la translation de vecteur $\vect{\text{FB}}$ ?
\item Quelle est l'image de I par la rotation de centre J, d'angle $90\degres$, en tournant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre ?
\item Quelle est l'image de J par la symétrie de centre C suivie de la symétrie de centre H ?
\item Quelle est l'image de H par la translation de vecteur $\vect{\text{CF}}$
suivie de la translation de vecteur $\vect{\text{BF}}$ ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=5mm}
\begin{pspicture}(8,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psline[linewidth=1.25pt](0,8)(8,0)
\psline[linewidth=1.25pt](8,8)(2,2)
\psline[linewidth=1.25pt](2,6)(0,4)(4,0)
\psline[linewidth=1.25pt](2,2)(6,2)
\uput[ul](0,8){D} \uput[ur](8,8){C} \uput[ur](2,6){I}
\uput[l](0,4){H} \uput[r](4,4){J} \uput[dl](2,2){G}
\uput[ur](6,2){F} \uput[dl](0,0){A} \uput[d](4,0){E}
\uput[dr](8,0){B}
\rput(1,6){\textcircled{5}} \rput(4,6){\textcircled{1}} \rput(2,4){\textcircled{7}} 
\rput(6,4){\textcircled{2}} \rput(4,3){\textcircled{4}} \rput(1,1){\textcircled{3}} 
\rput(5,1){\textcircled{6}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle EFG, rectangle en G, tel que
EF $= 6$ cm et FG $= 5$ cm.
\item Calculer, à $1\degres$ près, la mesure de l'angle $\widehat{\text{FEG}}$.
\item Soit M le point de la demi-droite [EF) tel que EM $= 9$ cm.

Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (EG).

Calculer la longueur MH.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.66\linewidth}
La figure ci-contre représente une pyramide.

Sa base ABC est un triangle rectangle en A tel que AB $= 40$ cm et BC $= 56$ cm.

Sa hauteur [AD] mesure $60$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur AC : donner sa valeur exacte sous la forme $a\sqrt 6$ où $a$ est un entier, puis son arrondi à 1 mm près.
\item Calculer le volume de la pyramide : donner sa valeur
exacte sous la forme $b\sqrt 6$ où $b$ est un entier, puis sa valeur arrondie à 1 cm$^2$ près.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(4,5)
\pspolygon(0.5,0.3)(3.2,1.3)(1.6,3.4)%CBD
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.3)(1.6,1.3)(3.2,1.3)%CAB
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.3)(1.6,3.4)%AD
\uput[ur](1.6,1.3){A} \uput[r](3.2,1.3){B} \uput[dl](0.5,0.3){C} \uput[u](1.6,3.4){D} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

La brochure de présentation du programme de la \og Saison culturelle \fg{} d'une ville propose les tarifs suivants:

Tarif A : plein tarif : $80$ F par spectacle.

Tarif B : achat d'une carte d'abonnement à $120$ F; le prix du spectacle est alors réduit de 30\,\% par rapport au prix plein tarif.

Tarif C: achat d'une carte de $680$ F et entrée libre à tous les spectacles.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Jean a choisi le tarif B et a acheté sa carte d'abonnement. Combien va-t-il payer chacun des spectacles ?
		\item Recopier et compléter le tableau suivant. 
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre de spectacles&Prix total payé avec le tarif A&Prix total payé avec le tarif B&Prix total payé avec le tarif C\\ \hline
3&&&\\ \hline
7&&&\\ \hline
12&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ le nombre de spectacles auxquels une personne assistera pendant la saison culturelle. Exprimer en fonction de $x$:
	\begin{enumerate}
		\item le prix payé avec le tarif A.
		\item le prix payé avec le tarif B.
		\item le prix payé avec le tarif C.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré construire un repère
orthogonal (O, I, J) en plaçant l'origine en bas à gauche de la feuille.

Prendre en abscisse: 1 cm pour 1 unité ;  en ordonnée : 1 cm pour 50 unités.

Construire les droites $\left(D_1\right),\,\left(D_2\right)$ el $\left(D_3\right)$ d'équations : 

\[\left(D_1\right) : y =  80x, \quad \left(D_2\right) : y =  56x + 120, \quad \left(D_3\right) : y = 680.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point R intersection des droites $\left(D_2\right)$ et $\left(D_2\right)$.
		\item Calculer les coordonnées du point P, intersection des droites $\left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie III}

\medskip

Un spectateur veut déterminer le tarif le plus avantageux selon le nombre de spectacles auxquels il assistera pendant la saison culturelle. Pour cela il utilise le graphique précédent.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que représente l'abscisse du point R ?
		\item Que représente l'abscisse du point P ?
	\end{enumerate}	
\item Donner le tarif le plus avantageux en fonction du nombre $x$ de spectacles.
\end{enumerate}
\end{document}