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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Un rectangle a une longueur de $38$~mm et une largeur de $25$~mm.

On augmente sa longueur de $x$ mm et sa largeur de $y$ mm, $x$ et $y$ étant des longueurs variables.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $y$ en fonction de $x$, en supposant d'abord qu'on obtient un nouveau rectangle R dont le périmètre mesure $164$~mm.

Représenter graphiquement les variations de $y$ en fonction de $x$.
\item Calculer $y$ en fonction de $x$ en supposant maintenant qu'on obtient un carré C.

Représenter sur le même graphique que précédemment les variations de $y$ en fonction de $x$.
\item Calculer $x$ et $y$ de telle façon que le carré C ait un périmètre de $164$~mm.

Traiter graphiquement cette question en utilisant les graphiques précédents.
\item Un carré C ayant pour aire \np{2325,25} cm$^2$, calculer son côté ainsi que $x$ et $y$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

On donne un cercle de centre O de rayon $R$ et deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit E un point situé sur [OA] entre O et A.

Quelle est la nature du triangle CED ?

Justifier votre réponse.
\item On mène en C la perpendiculaire à (CE) et en D la perpendiculaire à (DE).

Montrer que ces droites se coupent en un point F de la droite (AB).
\item On prolonge EO d'une longueur OH égale à EO.

Quelle est la nature du quadrilatère CEDH.

Justifier votre réponse.
\item Montrer que la droite (CH) est perpendiculaire à la droite (OF).

En considérant le triangle CDF, que peut-on dire du point H ?
\item En supposant que OE $= \dfrac R2$, calculer OF et
l'aire du quadrilatère CEDF.
\end{enumerate}
\end{document}