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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère le système de deux équations du premier degré à deux inconnues
\[\left\{\begin{array}{l c l r}
ax+y&=&2,&\qquad (1)\\
x - 2y&=&a.&\qquad (2)
\end{array}\right.\]

où $a$ est un paramètre algébrique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Discuter et résoudre le système suivant les valeurs de $a$.
\item Donner la solution du système pour $a = + 3$.
\item Pour $a = 3$, chacune des équations (1) et (2) du système représente une fonction $y = f(x)$ du premier degré que vous étudierez et représenterez sur des axes de coordonnées rectangulaires $x'$O$x$,\: $y'$O$y$ (unité : $1$~cm pour
1 unité).

Retrouvez graphiquement le résultat de la deuxième question.
\item Dans la première question, une certaine valeur de $a$ rend impossible la résolution du système ; retrouver graphiquement cette discussion.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On considère un triangle équilatéral ABC.

Au point C on élève la perpendiculaire C$x$ à (BC) ; puis après avoir
déterminé sur la hauteur [AH] du triangle le point O tel 
\[\overline{\text{AO}} = \dfrac 23\overline{\text{AH}},\]
on mène la droite (BO) qui coupe C$x$ en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle AEC est isocèle.
\item Montrer que le quadrilatère ABCE est inscriptible dans une cercle. 
\item Calculer BE et CE en fonction de BC $= a$.

Déterminer le centre I et calculer le rayon du cercle inscrit dans le quadrilatère ABCE.
\end{enumerate}
\end{document}