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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{septembre 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen septembre 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système

\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad &\dfrac14 x - y + 3&=&0,\\
(2)\qquad & -4x - y + 3 &=& m,
\end{array}\right.\]

où $x$ et $y$ désignent les inconnues et $m$ un nombre algébrique.
\item Pour quelles valeurs de $m,\: x$ et $y$ sont-ils tous deux positifs ou bien tous deux négatifs ?

Quelles sont les valeurs de $m$ qui donnent aux deux nombres $x$ et $y$ (solutions du système) des valeurs de signes contraires ?
\item Les deux équations du système proposé à la question 1. représentent chacune une fonction de $x$.

Tracer, en utilisant les mêmes axes de coordonnées, les droites $D_1$ et $D_2$ représentant les deux équations dans le cas où $m = 3$.

Quelle particularité présente la droite $D_2$ ?
\item Dire comment se déplace la droite $D_2$ qui correspond à l'équation (2) du système quand $m$ varie.

Quelle particularité présente-t-elle constamment par rapport à $D_1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un segment de droite [AB] de longueur $2a$ et un point M du segment [AB].

D'un côté de la droite (AB) (choisi une fois pour toutes les constructions) on trace le triangle équilatéral AMD.

La perpendiculaire menée en D à (MD) rencontre en C la perpendiculaire en B à (AB).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère MBCD est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre.
\item On prolonge [BC] d'une longueur CE = CD ; démontrer que les trois points A, D, E sont alignés.
\item Calculer AE et EB en fonction de $a$.
\item Montrer que l'on peut exprimer le périmètre du quadrilatère DCBM en fonction de $a$ ; en déduire que ce périmètre ne varie pas quand M se déplace sur le segment [AB].
\item Calculer, en fonction de $a$, l'aire du quadrilatère MBCD dans le cas particulier où M est au milieu de ’AB] (question indépendante des précédentes).
\end{enumerate}
\end{document}