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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Caen~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

On donne l'expression :

\[A(x) = 4 - x^2 + (2x + 4)(5x + 7) - 3(x + 2)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Développer et mettre $A(x)$ sous forme d'un polynôme ordonné.
\item Résoudre l'équation :

\[6x^2 + 22x + 20 = 0.\]

\item Soit $B(x) = (5x + 2)^2 - (2x - 3)^2$.

Mettre $B(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
\item Simplifier la fraction:

\[F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]

Préciser dans quelles conditions peut se faire la simplification.
\item Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les fonctions:

\[\begin{array}{l c l}
y&=&2x + 4\\
y&=&7x - 1.
\end{array}\]

\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit un segment [AB] de longueur $a$ et soit C le point de ce 
segment tel que la longueur de [AC] soit $\dfrac{a}{3}$.

On considère le demi-cercle de diamètre [AB] de centre O.

La perpendiculaire en C à [AB] coupe ce demi-cercle en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en fonction de $a$, les mesures des segments [CD], [AD] et [BD].
\item De O, on mène (OE) perpendiculaire à (AD) et (OF) perpendiculaire à (BD).

Quelle est la nature du quadrilatère DEOF ?

Calculer, en fonction de $a$, les longueurs des côtés de ce quadrilatère.
\item Démontrer que le quadrilatère DEOC est inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre I.

Montrer que le point F appartient à ce cercle.
\item En déduire que $\overline{\text{BO}} \cdot \overline{\text{BC}} = \overline{\text{BF}} \cdot \overline{\text{BD}}$.

Calculer, en fonction de $a$, la valeur commune de ces deux produits.
\end{enumerate}
\end{document}