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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small septembre 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction polynôme $f$ définie par:
\[f(x) = 16x^2 - 24x + 5.\]

Quelles sont les images par f des nombres
\begin{center}$\left(+\dfrac54\right)$\quad  et \quad  $\left(- \sqrt 3\right)$\end{center}
\item Vérifier que $f(x) = (4x - 3)^2 - 4$.

Utiliser cette remarque pour écrire $f(x)$ sous forme d'un produit de deux facteurs
du premierer degré.
\item Déterminer l'ensemble des réels dont l'image par $f$ est $0$ puis l'ensemble des réels dont l'image par $f$ est $5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Des amis font un repas en commun. S'ils versent chacun $21$~F il manque
$10,50$~F pour payer la note totale.

Soit $x$ le nombre de personnes. Exprimer en fonction de $x$ la somme totale versée ainsi que le montant de la note totale à payer.
\item S'ils versent chacun $25$~F, la somme totale versée dépasse le montant de la note totale de $17,50$~F.

Refaire le même travail qu'à la première question.
\item En utilisant les deux premières questions, déterminer le nombre de personne qui ont participé au repas ainsi que le prix du repas par personne.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B, C définis par

\[\vect{\text{OA}} = 2\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}, \qquad \vect{\text{OB}} = -\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}, \qquad\vect{\text{OC}} = 4\vect{\imath} - 3\vect{\jmath}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AC}},~\vect{\text{BC}}$.

Calculer les distances $d$(A, B), $d$(A, C), $d$(B, C).

En déduire la nature du triangle (A, B, C).
\item Soit D le point de coordonnées (5~;~4).

Démontrer que A est milieu de (B, D).

Que représente la droite (AC) pour le segment [BD] ?
\item Calculer les coordonnées de E milieu de (C, D).

Soit G le point du plan tel que $2\vect{\text{GA}} + \vect{\text{GC}} = \vect{0}$.

Calculer les coordonnées de G.

Démontrer que les points B, G et E sont alignés.
\item Soit L le point de coordonnées $\left(\dfrac{11}{4}~;~\dfrac34\right)$.

Démontrer que B, D et C appartiennent à un même cercle de centre L.
\end{enumerate}
\end{document}