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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small septembre 1978}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les fonctions polynômes $f$ et $g$ ainsi définies :
\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to &\R\\
&x&\longmapsto &(3x - 7)(2x - 3) + (4x - 6)(2x + 5)\\
g :&\R&\to&\R\\
&x&\longmapsto&(5x - 8)^2 - (3x - 5)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f$ et $g$ sous la forme d'un produit de fonctions polynômes de degré un.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = 0$.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle définie dans $\R$ par:
\[h(x) = \dfrac{(2x - 3) (7x + 3)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de la fonction $h$.
		\item Simplifier dans $\mathcal{D}$, l'expression de $h(x)$.
		\item Calculer $h\left(\sqrt 3\right)$ et mettre le résultat sous la forme $a + b\sqrt 3$ avec $(a~;~b) \in \N \times \N$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
Un particulier veut tapisser son salon. Il choisit deux sortes de papier : du papier uni et du papier imprimé.Il faut au total neuf rouleaux.

S'il choisissait quatre rouleaux unis et cinq rouleaux imprimés, la dépense serait de 158 F{}.

S'il choisissait trois rouleaux unis et six rouleaux imprimés, la dépense serait de 150 F{}.

Quel est le prix d'un rouleau uni et le prix d'un rouleau imprimé ?

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $P$ un plan euclidien et \Oij{} un repère orthonormé de $P$.

I, A, B sont trois points de $P$ définis par :


\[\vect{\text{OI}} = 6\vect{\imath} + 7\vect{\jmath}\:;\quad \vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} + 9\vect{\jmath}\:;\quad\vect{\text{OB}} = 10\vect{\imath} + 11\vect{\jmath}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les composantes des vecteurs $\vect{\text{IA}},\: \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AB}}$. 

En déduire que le triangle (I, A, B) est rectangle.
\item Calculer les coordonnées du point C, symétrique de A par rapport à I.
\item Calculer les coordonnées du point D, tel que (A, B, C, D) soit un parallélogramme.
\item Calculer $d$(A, B) et $d$(B, C).

Que peut-on en déduire pour le quadruplet (A, B, C, D) ?

\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{IAB}}$.

Calculer $\tan \alpha$ et en déduire, à l'aide d'une table trigonométrique, une valeur approchée à un degré près par défaut de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{document}