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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\bigskip

On considère la fonction polynôme $p$ définie par
\[p(x) = (2x -3)^2 - (7x - 1)(2x - 3) - 9 + 6x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner le polynôme $p(x)$.
\item Écrire $p(x)$ sous forme d'un produit, de fonctions polynômes de degré un.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $p(x) =0$.
\item On considère la fonction rationnelle $F$ définie par
\[\begin{array}{l l c l}
F :&\R &\to&\R\\
&x&\mapsto&\dfrac{p(x)}{(2x - 3)(3x + 2)}.
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition, $\mathcal{D}_F$, de la
fonction $F$.
		\item Simplifier dans $\mathcal{D}_F$ l'écriture de $F(x)$.
		\item Calculer $F(0)$ et  $F\left(- \dfrac25\right)$.
		
		(On donnera le résultat sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est un entier.)
		\item Calculer la valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $F\left(\sqrt 3\right)$.

(On donne $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B, C
et D définis par
\begin{center}
$\vect{\text{OA}} = -2\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}$,\quad  $\vect{\text{OB}} = -6\vect{\imath} + 6\vect{\jmath}$,\quad $\vect{\text{OC}} = -7\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}$, \quad $\vect{\text{OD}} = \vect{\imath} + 7\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les composantes des vecteurs $\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{OC}}$ ; en déduire que les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées dans le repère
\Oij{} du milieu I de [A, B] et du milieu J de [C, D].
		\item Montrer que le quadruplet (B, C, I, J) est un parallélogramme.
		\item Démontrer que les droites (BC) et (IC) sont orthogonales.

Que peut-on en déduire pour le quadruplet (B, C, I, J) ?
		\item Démontrer que (B, C, I, J) est un carré.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit K le centre du carré (B, C, I, J). On
appelle $u$ l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{JAK}}$.

Déterminer $tan u$.
		\item Donner la valeur approchée par défaut à un degré près de $u$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}