\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Caen septembre 1980},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small septembre 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Caen septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

par



Soit $f$ et $g$ les fonctions polynômes définies, dans $\R$ par :
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&(2x - 4)^2 - (X - 5)^2\\
g(x)&=& \left(\dfrac25 x - \dfrac45 \right)^2  - \left(\dfrac x5  - 1\right)^2
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f$ sous la forme d'un produit de fonctions polynômes de degré au plus égal à 1.
\item Montrer que $f(x)$ est un polynôme de degré 2.
\item Résoudre  dans $\R$ les équations
\[f(x) = 0 \quad \text{et} \quad  f(x) = - 9.\]
\item Démontrer que pour tout réel $a$ :
\[f(1 - a ) = f(1 + a).\]
\item Montrer que $g(x)$ est un polynôme de degré 2.
\item Montrer que $f(x) =25g(x)$.
\item Utiliser les résultats précédents pour écrire $g$ sous la forme d'un produit de fonctions polynômes de degré au plus égal à 1 et pour résoudre l'équation
\[g(x) = 0.\]
\item $a$ étant un réel quelconque, comparer 
\begin{center}$g(1 + a)$ et $g(1 - a)$.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien, on considère un triangle équilatéral (A, B, C) tel que $d$(A, B) $= a$. 

Soit H la projection orthogonale du point A sur la droite (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure qui sera complétée au fur et à mesure du problème.
\item Calculer $d$(A, H) en fonction de $a$.
\item On considère les axes notés $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ portés respectivement par les droites (BC) et (HA).

L'axe $\mathcal{A}$ est muni du repère $\left(\text{H},~\vect{\imath}\right)$ et l'axe $\mathcal{B}$ du repère $\left(\text{H},~\vect{\jmath}\right)$ tels que :
\begin{center} $\left\|\vect{\imath}\right\| = \left\|\vect{\jmath}\right\|$\quad et \quad $\vect{\imath} = \vect{\text{HC}}$\end{center}

De plus $\vect{\jmath}$ a le même sens que $\vect{\text{HA}}$.

Dans le repère $\left(\text{H}, \vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ montrer que les points A, B
et C ont pour coordonnées respectives 
\begin{center} A$\left(0~;~\sqrt 3\right)$ ;\qquad  B$(- 1~;~ 0)$ ;\qquad  C(1~;~0).\end{center}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs
$\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{CA}}$.
\item Calculer les coordonnées du point G, centre de gravité du triangle (A, B, C).

Rappel: G est le point d'intersection des trois médianes du triangle (A, B, C).
\item Dans le repère $\left(\text{H}, \vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$, calculer les coordonnées du point D tel que (A, B, C, D) soit un parallélogramme.

Préciser la nature de ce parallélogramme en justifiant votre réponse.
\item Démontrer que les points B, G et D sont alignés.
\item Déterminer une équation de la droite (AC) et une équation de la droite (BD).
\end{enumerate}
\end{document}