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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Caen}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen septembre 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne: $A = (7x - 3)^2 - (8x + 5)(7x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur prise par $A$ avec $x = \dfrac47$.

Donner le résultat sous forme d'une fraction.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre $A = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $C = \left(\sqrt 3 + 2\right)^2 - 2\sqrt{75}$.

Écrire $C$ sous la forme $a + b\sqrt 5$ où $a$ et $b$ sont des nombres
entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Anne, Julien et Thierry passent un examen qui comporte:

\begin{itemize}
\item une épreuve de français ayant pour coefficient 3 ;
\item une épreuve de mathématiques ayant pour coefficient 2 ;
\item une épreuve d'anglais ayant pour coefficient 4 ;
\item une épreuve d'histoire-géographie ayant pour coefficient 1.
\end{itemize}

Chaque épreuve est notée par un nombre entier de 0 à 20. Pour être reçu, il faut obtenir un total d'au moins $100$ points compte-tenu des coefficients.

Si $f$, $m$, $a$, $h$ désignent les notes de français, mathématiques, anglais et histoire-géographie, le total est calculé par la formule :

\[3f +2m + 4a + h.\]

\begin{enumerate}
\item Julien obtient 12 en français, 8 en mathématiques, 11 en anglais et 6 en histoire-géographie.

Est-il reçu ?
\item Thierry est reçu avec un total de $111$ points. Il sait qu'il a 14 en mathématiques, 9 en anglais et 11 en histoire-géographie.

Quelle est sa note en français ?
\item Anne sait qu'elle a 9 en français, 10 en mathématiques, 12 en histoire-géographie.

Quelle note minimale entière doit-elle obtenir en anglais pour être reçue ?
\end{enumerate}

%\begin{enumerate}
%\item 
%\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire une figure en vraie grandeur en respectant le consignes suivantes :
\begin{itemize}
\item Tracer un segment [AD] de longueur $10,4$ cm ;
\item Placer sur ce segment le point B tel que AB $= 5,6$ cm ;
\item Construire un point C tel que AC $= 7$ cm et que le triangle
ABC soit rectangle en B ;
\item Placer le point E à l'intersection de (AC) et de la droite
perpendiculaire à (AD) en~D.
\end{itemize}

\item Montrer que EC $= 6$ cm.
\item Calculer ED.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Un archéologue a découvert les vestiges d'une pyramide égyptienne: deux tas de pierres.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(8.7,3.5)
%\psgrid
\psframe(0.2,0.2)(2.8,2.8)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](2.8,0.2){B} \uput[ul](0.2,2.8){D} \uput[ur](2.8,2.8){C}
\pscurve(2,2.8)(2.2,2.5)(2.4,2.3)(2.6,2.1)(2.8,2)
\pscurve(0.2,1)(0.4,0.9)(0.6,0.7)(0.8,0.6)(1,0.4)(1.2,0.2)
\psline[linestyle=dashed]{<->}(0.2,0.2)(2.8,2.8)%AC
\rput{45}(1.5,1.75){180 m}
%%%%%
\psline(6.9,2.9)(4.4,0.8)(6.8,0.2)(8.3,1.2)(6.9,2.9)(6.8,0.2)%SABCSB
\pspolygon[linestyle=dashed](4.4,0.8)(5.9,1.8)(8.3,1.2)
\psline[linestyle=dashed](5.9,1.8)(6.9,2.9)
\pscurve(5,1.3)(5.2,1.1)(5.3,1)(5.2,0.6)
\pscurve(7.97,1.6)(7.8,1.4)(7.7,1.2)(7.6,0.75)
\uput[u](6.9,2.9){S$'$}\uput[l](4.4,0.8){A$'$} \uput[d](6.8,0.2){B$'$} \uput[d](5.9,1.8){D$'$} \uput[r](8.3,1.2){C$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

Comprenons comment il peut retrouver les dimensions de la pyramide.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En prolongeant les restes de la base, il remarque (fig.l) que celle-ci est carrée et a une diagonale de longueur $180$ m.

Si $d$ est la longueur en mètres du côté [BC] de la base, montrer que $d = 90\sqrt 2$.

En déduire une valeur approchée de $d$ à 10 cm près.
\item L'archéologue reconstitue à l'aide d'une maquette
S$'$A$'$B$'$C$'$D$'$ à échelle réduite (fig.2), la pyramide. 

Il constate qu'elle est régulière et que l'angle $\widehat{\text{C}'\text{A}'\text{S}'}$ mesure $52\degres$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'on peut calculer la hauteur de la pyramide par
le produit:

\[90 \times \tan 52\]

Donner une valeur approchée (à 10 cm) de cette hauteur.
		\item Si H est le milieu du côté [BC], O le centre de la base carrée de la pyramide et S son sommet, calculer $\tan \widehat{\text{OHS}}$.
		
En déduire une valeur approchée au degré près de $\widehat{\text{OHS}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Pour la simplicité des calculs, certaines données ont été arrondies.

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

Un train T. G. V. Atlantique quitte la gare de Montparnasse à Paris pour se rendre à Bordeaux. Son trajet est représenté en traits pleins sur le graphique ci-dessous (unités graphiques: sur l'axe des abscisses, une durée d'une heure est représentée par 6 cm ; sur l'axe des ordonnées, 100 km sont représentés par 2 cm.).

\begin{landscape}
\begin{center}
\psset{xunit=4.5cm,yunit=0.015cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(4,750)
%\psgrid
\multido{\n=0+10}{76}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(4,\n)}
\multido{\n=0.000000+0.083333}{49}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,750)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100,Dx=0.166667,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(4,750)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100,Dx=10](0,0)(0,0)(4,750)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0.5,0)(2,339)(2.0833,339)(3.27,579)
\uput[r](0,2){Paris}
\uput[r](0,339){Poitiers}\uput[l](0,339){339}
\uput[r](0,579){Bordeaux}\uput[l](0,579){579}
\uput[d](0,0){6 h 40 min}\uput[d](0.5,0){7 h 10 min}
\uput[d](1.5,0){8 h}\uput[d](2.5,0){9 h}\uput[d](3.5,0){10 h}
\uput[u](3.9,0){$x$}
\uput[l](0,740){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item À quelle heure le T.G.V. quitte-t-il la gare de Paris?
		\item À  quelle heure arrive-t-il à Poitiers ?
		\item À  quelle heure repart-il de Poitiers ?
		\item À  quelle heure arrive-t-il à Bordeaux ?
	\end{enumerate}
\item Sachant que pour ce train la distance Paris-Poitiers est de $339$ km et la distance Poitiers-Bordeaux est de $240$ km, calculer sa vitesse moyenne (en km/h) :
	\begin{enumerate}
		\item entre Paris et Poitiers ;
		\item entre Poitiers et Bordeaux ; c) entre Paris et Bordeaux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

Un deuxième T. G.V. Atlantique part le même jour de Bordeaux à 6 h 40 min pour se rendre à Paris et se déplace à la vitesse moyenne de 193 km/h.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que ce train ne fait aucun arrêt entre ces deux villes, calculer la durée du trajet et l'heure d'arrivée à Paris.
\item Représenter avec soin et précision sur le graphique joint, le déplacement de ce deuxième train.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip On considère les points D(0,5~;~0), C(2~;~339), D$'$(0~;~579) et A$'$(3~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation pour chacune des droites (DC) et (D$'$A$'$).
\item On écrit le système des deux équations de (DC) et (D$'$A$'$). 

Sans le résoudre, préciser la signification de ses solutions.
\end{enumerate}
\end{document}