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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1994}
\rfoot{\small Caen, Nantes, Orléans--Tours}
\lfoot{\small septembre 1994}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen\footnote{ Nantes, Orléans--Tours} septembre 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Travaux numériques}

\medskip

Les exercices suivants sont indépendants.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les expressions $A, B$ et $C$ et donner le résultat sous la forme la plus simple possible.

\[A = \dfrac{7 + \dfrac35}{7 - \dfrac35} \quad B = \dfrac{10^4 \times 5 \times 10^{-2}}{ 2,5 \times 10^3}\quad C = \dfrac67 - \dfrac37 \times \dfrac19\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$D = (n + 2)^2 - (n - 2)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et simplifier $D$.
\item Expliquer comment utiliser le résultat précédent pour calculer $\np{7000002}^2 - \np{6999998}^2$.

Calculer cette différence.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Un commerçant vend $360$~F un blouson dont le prix de vente marqué était $450$~F.

Calculer:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le montant de la réduction.
\item Le pourcentage de la réduction par rapport au prix marqué.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Dans l'exercice, les disques compacts envisagés sont tous au même prix, les cassettes sont toutes de même valeur.

Henri achète cinq compacts et quatre cassettes pour $543$~F.

Jean achète trois compacts et sept cassettes pour $404$~F.

Quel est le prix d'un compact et celui d'une cassette ?

\bigskip

\textbf{\large Travaux géométriques}

\medskip

Les deux exercices sont indépendants.

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
On considère une pyramide SABC telle que les triangle SAB, SAC, SBC sont rectangles en S ;

SA~=~SB~$= 6$~cm et AC $= 10$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer SC.
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{pspicture}(-2.2,-1.4)(2.9,3)
\pspolygon(2.7;-17)(2.7;90)(2.5;220)
\psline[linestyle=dashed](2.7;-17)
\psline[linestyle=dashed](2.7;90)
\psline[linestyle=dashed](2.5;220)
\uput[r](2.7;-15){C} \uput[u](2.7;90){B} \uput[dl](2.5;220){A} \uput[ur](0,0){S} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Les longueurs sont exprimées en cm.

On considère un triangle ULM tel que :

UL $= 6,6$,\quad LM $= 8,1$,\quad UM $= 4,8$.

R est un point de la demi-droite [UL) tel que UR $= 9,9$ et S un point de la demi-droite [UM) tel que US $= 7,2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.

Pour les questions 2, 3 et 4 on précisera à chaque fois la propriété utilisée.

\item Déterminer si le triangle ULM est ou n'est pas rectangle en U.
\item Démontrer que les droites (LM) et (RS) sont parallèles.
\item Calculer la longueur RS.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}
ABC est un triangle rectangle en
B, avec AB~=~5~cm, et $\widehat{\text{BAC}}$ vaut $40\degres$.

[BD] est la hauteur issue de B.

Calculer BC et BD.

On donnera les valeurs arrondie au mm près.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.40\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.4,5)
%\psgrid
\pspolygon(0.1,0.2)(5.1,0.2)(5.1,4.4)%ABC
\uput[d](0.1,0.2){A} \uput[d](5.1,0.2){B} \uput[u](5.1,4.4){C} \uput[ul](3.02,2.66){D}
\psline(5.1,0.2)(3.02,2.66)%BD
\psframe(5.1,0.2)(4.9,0.4)
\rput{-135}(3.02,2.66){\psframe(0.2,0.2)}
\psarc(0.1,0.2){0.5}{0}{40}\rput(0.87,0.4){$40\degres$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\large Problème}

\medskip

\begin{minipage}{0.61\linewidth}
On aménage une pièce sous le toit d'une maison.

Le mur SDC a la forme d'un triangle isocèle de hauteur SH $= 5$ m et de base DC $= 4$ m.

On désire installer des étagères ur ce mur. Une étagère est représentée par le segment
[AB] ; [AB] coupe [SH] en K.

On ne tient pas compte de l'épaisseur de l'étagère. $x$ désigne KH, distance entre le sol et l'étagère.

Les première et deuxième parties peuvent se traiter indépendamment.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.6,0)(2.2,6)
%\psgrid
\pspolygon(-2.1,0.3)(2.1,0.3)(0,5.5)%DCS
\psline(-1.81,1)(1.81,1)%AB
\psline(0,0.3)(0,5.5)
\psframe(0,1)(0.2,0.8) \psframe(0,0.3)(0.2,0.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-0.5,0.3)(-0.5,1)
\uput[l](-1.7,1){A} \uput[r](1.7,1){B} \uput[r](2.1,0.3){C} \uput[l](-2.1,0.3){D} 
\uput[d](0,0.3){H} \uput[u](0,5.5){S} \uput[ur](0,1){K} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{PREMIÈRE PARTIE}

\begin{enumerate}
\item Entre quelles valeurs peuvent varier les distances (en mètres) $x$ et AB ?
\item Exprimer SK en fonction de $x$.
\item Calculer KB en fonction de $x$.
\item En déduire que AB $= 4 - 0,8x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{DEUXIÈME PARTIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré tracer la droite (D) d'équation $y = 4 - 0,8x $dans un repère (O, I, J) orthonormal, unité $2$ cm sur les axes.
\item On utilise ce graphique pour évaluer la longueur d'une étagère en fonction de sa distance au sol.
	\begin{enumerate}
		\item On place la dernière étagère à $2$ m du sol. Estimer sa longueur d'après le graphique, laisser les traits de construction.

Donner, par le calcul, la valeur exacte de la longueur de l'étagère. 
		\item On dispose d'une planche de $3$ m de long que l'on ne veut pas couper. À quelle hauteur du sol doit-on la placer ?

Estimer la hauteur d'après le graphique, laisser les traits de construction.

Donner par le calcul la hauteur exacte de cette étagère.
		\item Colorier la partie de l'axe des ordonnées représentant les longueurs des étagères dont la distance au sol serait comprise entre $0$ et $2$~m.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}