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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen juin 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{I.}

Soit les applications polynômes suivantes:

\[\begin{array}{l l l l}
f : &\R \longrightarrow &\R 	&\\
	&x \longmapsto		&f(x) : &f(x) = (4x - 1)^2- (x + 3)^2\\
g :&\R \longrightarrow \R		&\\
	&x \longmapsto		&g(x) : &g(x) = 25x^2- 4- (5x + 2)(4x - 7)\\
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Transformer $f(x)$ et $g(x)$ en produits de facteurs du premier degré en $x$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes:

\[f(x) = 0 ,\quad  g(x) = 0,\quad  f(x) = g(x).\]

\item On considère la fonction rationnelle $q$ définie par: 

\[\begin{array}{l l l l}
q :	&\R \longrightarrow &\R& \\
	&x \longmapsto&q(x) : &q(x) = \dfrac{f(x)}{ g(x)}\\
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'ensemble de définition $E$ de la fonction $q$ puis simplifier $q(x)$. 
		
Soit $q'(x)$ cette expression simplifiée. 

Donner l'ensemble de définition $F$ de la fonction $q'$.
		\item Calculer si possible : $q\left(\dfrac{4}{3}\right)$ , puis $q\left(\dfrac{9}{2}\right)$ , puis $q\left(- \dfrac{2}{5}\right)$. 
		\item Résoudre dans $E$ l'équation : $q(x) = \dfrac{5}{8}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire dans le plan rapporté à un repère \Oij{} les représentations graphiques $D_1$ et $D_2$ des fonctions $f_1$ et $f_2$ suivantes :
		
\[\begin{array}{l l l }
f :	&\R \longrightarrow \R&\\
	&x \longmapsto f_1(x) :&f_1(x) = 3x - 4\\
g :	& \R \longrightarrow \R&\\
	&x \longmapsto f_2(x) :&f_2(x) = x + 5\\
\end{array}\]

		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection M de $D_1$ avec $D_2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{II.}

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points A, B, C, tels que:

\[\begin{array}{l c r }
\vect{\text{OA}} &=& - 4\vect{\imath} + 2\vect{\jmath}\\
\vect{\text{OB}} &=& - \vect{\imath} + 6\vect{\jmath}\\
\vect{\text{OC}} &=& - \vect{\jmath}
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $d$(A, B),\, $d$(A, C) ,\, $d$(B, C) .
\item Montrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle.
\item Calculer les coordonnées du milieu I de (B, C).

\item Soit E le point du plan défini par: $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{AB}} + \vect{\text{AC}}$.

Calculer les coordonnées de E.
\item Démontrer que (A, B, E, C) est un carré.
\item Soit D le point du plan défini par: $\vect{\text{OD}} =6\vect{\jmath}$.

Calculer le cosinus et la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique
$\widehat{\text{BCD}}$.

Donner l'écart angulaire de cet angle à un degré près par excès.
\end{enumerate}
\end{document}