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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Caen}
\lfoot{\small juin 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A = \left(3 - \dfrac57\right) \times \left(\dfrac34+ \dfrac{-11}{3}\right)$.

Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Calculer $B = \dfrac{12 \times 10^{-5} \times 5 \times \left(10^4\right)^3}{24 \times 10^{-2}}$.

Donner le résultat sous la forme $a \times 10^p$, avec $a$ et $p$ entiers positifs.
\item  Calculer $C = \sqrt{600} - 2\sqrt 6 + 3\sqrt{24}$.

Donner le résultat sous la forme $a\sqrt b$ avec $a$ et $b$ entiers
positifs, $b$ étant le plus petit possible.
\item $a$ désignant un réel, écrire plus simplement 

\[D = (a + 1)^2 - (a - 1)^2.\]

En déduire la valeur de $\np{10001}^2 - \np{9999}^2$.
\item $x$ désignant un réel, on considère l'expression 

\[E = (5x - 1)(x + 3) + 3\left(25x^2 - 1\right) - (5x - 1)(1 - 2x).\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire $E$.
		\item Factoriser $E$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $(5x - 1)(18x + 5) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\emph{Les exercices $1$ et $2$ sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Un escalier droit est constitué de trois marches en bois.

À l'aide du dessin en coupe ci-dessous et des dimension données, h $= 18$ cm, p $= 24$ cm, calculer
\begin{enumerate}
\item les dimensions H et P,

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,7.4)
%\psgrid
\pspolygon(1.6,1.1)(7.5,1.1)(1.6,5.5)
\psline[linewidth=1.25pt](7.5,1.1)(6.1,1.1)(1.6,4.4)(3.1,4.4)(3.1,3.3)(4.6,3.3)(4.6,2.2)(6.1,2.2)(6.1,1.1)
\psline[linewidth=0.4pt](6.1,1.1)(6.1,3.6)
\psline[linewidth=0.4pt](4.6,3.3)(6.4,3.3)
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4.6,3.6)(6.1,3.6)\uput[u](5.35,3.6){$p$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(6.4,2.2)(6.4,3.3)\uput[r](6.4,2.75){$h$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(8,2)(2.4,6.4)\uput[ur](5.2,4.2){$L$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.2,1.1)(1.2,5.5)\uput[l](1.2,3.3){$H$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(1.6,0.6)(7.5,0.6)\uput[d](4.55,0.6){$P$}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.25,4.5)(4.7,3.375)\uput[ur](4,3.9){$l$}
\psarc(7.5,1.1){0.6}{145}{180}\rput(6.8,1.35){$\alpha$}
\end{pspicture}

\end{center}
\item les dimensions $l$ et $L$,
\item la tangente de l'angle $\alpha$.
\item En utilisant la table suivante, donner la mesure de $\alpha$ à 1 degré près par excès.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\alpha$&30° &31° &32° &33° &34°&35° &36°\\ \hline
$\tan \alpha$&0,577 &0,601 &0,625& 0,649 &0,675&0,700 &0,727\\ \hline\hline
$\alpha$&37° &38° &39° &40& 41° &42°&\\ \hline
$\tan \alpha$&0,754 &0,781 &0,810&0,839 &0,869&0,900&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour cet exercice, on fera un dessin sur papier quadrillé. On donne trois points A, B, C non alignés.

Construire les points E et F tels que $\vect{\text{AE}} = \dfrac12\vect{\text{AB}}+ \vect{\text{BC}},\: \vect{\text{AF}} = \dfrac32\vect{\text{AB}} - \vect{\text{AC}}$.

Laisser en évidence les traits de construction.

Exprimer le vecteur $\vect{\text{EB}}$ en fonction des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$. 

Que peut-on en déduire pour le quadrilatère AEBF?

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A $\left(\dfrac92~;~0\right)$ et B(0~;~6). 

On désigne par H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB et par I le centre du cercle $(\mathcal{C})$ circonscrit au triangle OAB. (Faire un dessin sur papier quadrillé, unité = 1 cm.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB, le rayon du cercle $(\mathcal{C})$ et les coordonnées de I.
\item Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire OH.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver une équation de la droite (AB).
		\item Trouver une équation de la droite (OH).
		\item Calculer les coordonnées de H.
		\item En utilisant les coordonnées de H, calculer OH.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Orthographe et présentation : $4$ points}
\end{document}