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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Caen}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen juin 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne les expressions numériques : 

\[A = \dfrac57  -\dfrac27 \times \dfrac43 \qquad  B = \left(\dfrac12 - \dfrac13\right) : \dfrac23 + 1.\]

Calculer $A$ et $B$. On écrira les résultats sous la forme de fractions aussi simples que possible.
\item Écrire les nombres $C$, $D$ et $E$ ci-dessous sous la forme $a \sqrt b$ où $a$ est un entier et $b$ un entier positif le plus petit possible.

\[C = \sqrt{300}\qquad D = 2  \sqrt{12} -  \sqrt{27}\qquad 
E =  \sqrt{21} \times   \sqrt{14}\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression suivante :

\medskip

\[F = (2x + 3)^2 - (x + 5)(2x + 3)\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire F.
\item Factoriser F.
\item Résoudre l'équation (2x + 3)(x - 2) = 0.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne l'inéquation 

\[x + 5 \leqslant 4(x + 1) + 7.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi chacun des nombres suivants est ou n'est pas une solution de l'inéquation: $-5$ ;\quad $-3$ ;\quad $0$ ;\quad $3$.
\item Résoudre l'inéquation.
\item Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On accède au garage situé au sous-sol d'une maison par une rampe [AC].

On sait que : AC $= 10,25$ m ; BC $= 2,25$ m.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2.3)(11.2,5)
\psline(11.2,0)
\psline(6,0)(6,2.3)(5.9,2.3)(8,4.7)(10.1,2.3)(10,2.3)(10,0)
\rput(8,2.1){Maison}\rput(8,-1.5){Garage}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(6,-2)(10,-2)(10,0)
\psline[linestyle=dashed](6,-2)(6,0)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,1)
\psframe(6,0)(5.8,-0.2)
\rput{-18.42}(3,-0.8){Rampe}\rput(0.4,1.2){Portail}
\uput[d](0,0){A}\uput[ul](6,0){B}\uput[dl](6,-2){C}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Calculer la distance AB entre le portail et l'entrée.
\item Calculer à un degré près par excès la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC tel que : AB $= 3,5$ cm ; AC $= 5$ cm ; BC $= 4$ cm.
\item Construire le point D tel que CD = AC .
\item Construire le point E symétrique de B par rapport à C.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

SABCD est une pyramide régulière à base carrée de $24$ m de côté. 

La hauteur [SH] mesure $12$ m.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1.2)(2.2,2.9)
%\psgrid
\psline(0,2.7)(-2.2,-1.2)(1,-1.2)(2.2,1.2)(0,2.7)(1,-1.2)%SABCSB
\psline(0,2.7)(-1,1.2)(-2.2,-1.2)%SDA
\psline[linestyle=dashed](-2.2,-1.2)(2.2,1.2)(-1,1.2)%ACD
\psline[linestyle=dashed](-1,1.2)(1,-1.2)%DB
\psline[linestyle=dashed](0,2.7)%SH
\psline(0,0.18)(0.2,0.29)(0.2,0.08)
\uput[dl](-2.2,-1.2){A} \uput[dr](1,-1.2){B} \uput[r](2.2,1.2){C}
\uput[l](-1,1.2){D} \uput[d](0,0){H} \uput[u](0,2.7){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en m$^3$, le volume $V_1$ de cette pyramide.
\item A l'intérieur de la pyramide, on construit une salle en forme de demi- boule de centre H et de rayon 8 m. Calculer le volume $V_2$ de la demi-boule en m$^3$. Donner le résultat arrondi à 1 m$^3$ près.
\item On réalise une maquette à l’échelle 1/20.

$V_3$ est le volume en m$^3$ de la pyramide réduite.
	\begin{enumerate}
		\item Par quelle fraction doit-on multiplier $V_1$ pour obtenir $V_3$ ?
		\item En déduire la valeur de $V_3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Dans un océan, autour de l'île principale d'Ogar, sont situés plusieurs îlots : Alfa, Borm, Cliv et Dunk. Ces cinq îlots seront assimilés à des points, notés respectivement O, A, B, C et D.

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). L’unité est le cm. 

Graduer l'axe des abscisses de $- 1$ à 17 et celui des ordonnées de $- 7$ à 17.

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points suivants : l'origine O (Ogar)
A(0~;~9) (Alfa), \quad 
B(0~;~15) (Borm), \quad

C(4~;~7), (Cliv), \quad
D$(10~;~-5)$ (Dunk)
\item Déterminer une équation de la droite (CD).
\item Montrer que le point B appartient à la droite (CD).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Calculer les distances BA, BD, BC et BD.
\item Que peut-on dite des droites (AC) et (OD) ?

Justifier la réponse en utilisant la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac12 x + 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire $\Delta$.
\item On admet que la droite (BD) a comme équation $y =- 2x + 15$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites $\Delta$ et (BD) sont perpendiculaires.
		\item Calculer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.
		
Que remarque-t-on ?\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Quatrième partie}

\medskip

Une récompense est cachée sur l'îlot de Trésoria, assimilé au point T,
image de C par la translation de vecteur $\vect{\text{OD}}$ .

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire T.
\item Calculer ses coordonnées.
\end{enumerate}
\end{document}