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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1998}
\rhead{\small Caen}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Caen  juin 1998 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une fraction la plus simple possible :
\[A = \left(\dfrac35 \right)^2 -\dfrac23, \qquad B = \dfrac37 + \dfrac67 \times \dfrac13,\qquad C = \dfrac{4 \times 10^{12}  \times 1,5}{9 \times 10^{11}}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire les expressions $D$ et $E$ sous la forme $a + b\sqrt3$, où $a$ et $b$ sont des entiers :

\[D = \sqrt{81} + 7\sqrt 3 - \sqrt{27}, \qquad  E = 3\left(5 - \sqrt 3\right) - \left(\sqrt 3 + 3\right)\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression : 

\[F = (2x +3)^2 + (2x + 3)(x - 1).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Factoriser $F$.
\item Calculer $F$ pour $x = - \dfrac23$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Au cinéma Rex, le prix d'un billet est de 42 F pour un adulte et de 34 F pour un étudiant.

11 personnes assistent à la projection d'un film et paient $430$ F.

Parmi ces 11 personnes, combien y a-t-il d'étudiants ?

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle isocèle ABC de sommet A tel que AB $= 4,5$ cm et BC $= 5,4$ cm.

Placer le point H, pied de la hauteur issue de A, et le point M, milieu
de [AB].
\item Justifier que H est milieu de [BC].
\item Calculer la longueur du segment [HA].
\item Construire le point D, symétrique du point M par rapport au point H.

Quelle est la nature du quadrilatère BMCD ? Justifier la réponse.
\item Démontrer que : AM + BD = MD
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
Un panier a la forme d'un tronc de cône dont les bases ont pour diamètres les segments [AB] et [CD], situés dans un même plan.

Le petit cône de sommet S et de disque de base de rayon [ICl est une réduction du grand cône de sommet S et de disque de base de rayon [OA].

Il est inutile de reproduire la figure ci-contre, représentant un tronc de cône.

On donne : AB $= 30$ cm CD $= 20$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, à partir des indications portées sur la figure, que les droites (AO) et (CI) sont parallèles.
		\item Démontrer que $\dfrac{\text{SI}}{\text{SO}} = \dfrac23$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume $V_2$ du petit cône en fonction du volume $V_1$ du grand cône.
		\item Montrer que le volume $V$ du tronc de cône est : $V = \dfrac{19}{27} V_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-4)(1.5,0.5)
\psellipse(0,0)(1,0.45)
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-2)(0.5,0.225){0}{180}
\psellipticarc(0,-2)(0.5,0.225){180}{360}
\psframe(0,0)(-0.15,-0.15)\psframe(0,-2)(-0.15,-2.15)
\psline(-1,0)(-0.5,-2)
\psline(1,0)(0.5,-2)
\pspolygon[linestyle=dashed](-0.5,-2)(0,-3.5)(0.5,-2)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-3.5)
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(1,0)
\uput[l](-1,0){A} \uput[r](1,0){B} \uput[l](-0.5,-2){C}
\uput[r](0.5,-2){D} \uput[u](0,0){O} \uput[ul](0,-2){I}\uput[d](0,-3.5){S}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

La SNTF, Société Nationale des Trains Français, a effectué une enquête auprès des jeunes de 15 à 25 ans.

Les réponses à la question : \og Que pourrait faire la SNTF pour vous permettre de voyager plus souvent par le train ?\fg{} sont représentées dans le diagramme ci-après :



%%%%%% camembert
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,0)(4,4)
\psarc(0,0){4}{0}{180}
\psline(4;45) \psline(4;90)
\psline(-4,0)(4,0)
\psframe(0,0)(-0.2,0.2)
\rput(-2,2){Baisser les tarifs}\rput(1.4,3){Augmenter le}
\rput(1.2,2.4){nombre de} \rput(1.,1.8){trains} \rput(2.2,0.8){Autre réponse}
\psarc(0,0){0.5}{0}{90} 
\psline(0.4;22.5)(0.6;22.5)
\psline(0.4;67.5)(0.6;67.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le pourcentage de jeunes pensant qu'il faut augmenter le nombre de trains ?
\item 516 jeunes ont répondu qu'il faudrait baisser les tarifs.

Quel est le nombre total de jeunes ayant répondu à cette enquête ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

À la SNTF, le prix normal d'un billet est proportionnel au nombre de kilomètres parcourus : le prix demandé pour 1 km est de $0,80$ F.

La SNTF décide de proposer un tarif réduit aux 15-25 ans, selon deux possibilités :
\begin{itemize}
\item tarif1 : réduction de 25\,\% sur tous les trajets.
\item tarif2 : achat d'une carte \og 15-25 \fg{} au prix de 220 F valable 1 an, permettant d'obtenir une réduction de 50\,\% sur tous les trajets.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Au tarif 1 &Au tarif 2\\ \hline
Dépense annuelle pour 500 km&& \\ \hline
Dépense annuelle pour \np{2000} km&& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit $y_1$ la dépense annuelle en francs pour $x$ km au tarif1, et $y_2$ la dépense annuelle pour $x$ km au tarif 2.

Montrer que $y_1 = 0,6x$ et $y_2 = 220 + 0,4x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $200 + 0,4 x < 0,6 x$.
		\item Quand est-il plus intéressant d'acheter la carte \og 15-25 \fg{} ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan muni d'un repère orthogonal, tracer les droites suivantes :
$\left(d_1\right)$ d'équation $y = 0,6 x$,\,$\left(d_2\right)$ d'équation $y = 220 + 0,4 x$.

On prendra sur l'axe des abscisses 1 cm pour représenter $200$ km et
sur l'axe des ordonnées $1$ cm pour représenter $100$~F.
		\item Retrouver graphiquement le résultat de la question \textbf{3. b.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\medskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

La SNTF décide de mettre en service un train rapide entre les villes de Cherbourg et Caen, distantes de 132 km.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque le train effectue le trajet direct sans arrêt, sa vitesse moyenne est de $165$ km/h.

En combien de minutes effectue-t-il le trajet Caen-Cherbourg ?
\item Ce train part de Cherbourg à 6~h 15~min, effectue plusieurs arrêts et arrive à Caen à 7~h~21~min.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la durée du trajet?
		\item Quelle est, en km/h, sa vitesse moyenne, arrêts compris, sur le trajet Cherbourg-Caen ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}