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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 1993}}
\rfoot{\small{Caen}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Caen
 juin 1993 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer :

\[A = \dfrac13 - \dfrac12 ; \qquad   B = \dfrac32 - \dfrac12 \times \left(1 - \dfrac35\right)\]

Vous écrirez chaque résultat sous la forme d'une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des entiers les plus petits possibles.
\item Combien de bouteilles de $\dfrac38$ de litre peut-on remplir avec $96$~litres de vin ?
\item J'ai dépensé les trois quarts des deux tiers de $120$ francs. Exprimer cette dépense en francs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $C$ suivante :

\[C = (3x + 1)^2 - (2x - 3)^2\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation $(5x - 2)(x + 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le nombre $D$ sous la forme $a+b\sqrt 2$, où $a$ et $b$ sont des entiers:

\[D = \sqrt{72} + \sqrt{64} - \sqrt{18} - 1.\]

\item Soit $E = \left(3\sqrt{2} - 1\right)\left(\sqrt 2 + 1\right) - \left(\sqrt 2 + 1\right)$.

Montrer que $E$ est un entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Chaque pays accorde une part de son budget à la recherche.

Voici regroupées dans un tableau les dépenses pour la recherche (en \% par rapport à la dépense mondiale) de différents pays ou groupes de pays:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&C.E.E. &États-Unis	&Japon	&Autres pays\\ \hline
Dépenses (en \%)&28 	&49 		&16		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les dépenses attribuées aux \og Autres pays \fg.
\item Représenter sous forme d'un diagramme circulaire les dépenses pour la recherche.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(9.4,4.5)
%\psgrid
\psframe(2.7,0.3)(8.7,4)%ABCD
\psline(8.7,4)(0.3,0.3)(2.7,0.3)%BFD
\uput[u](2.7,4){A} \uput[u](8.7,4){B} \uput[dr](8.7,0.3){C} 
\uput[d](2.7,0.3){D} \uput[ul](2.7,1.38){E} \uput[ul](0.3,0.3){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Les questions $1$., $2$., $3$. sont indépendantes.}

\emph{Le dessin figure à titre indicatif.}

\medskip

L'unité est le centimètre.

Soit ABCD un rectangle dont les dimensions sont AB $= 12$ et BC $= 7$. Soit E le point du segment [AD] tel que AE $= 5$.

La droite (BE) coupe la droite (DC) en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer EB.
\item En précisant la propriété utilisée, calculez EF et FD.
\item La perpendiculaire à la droite (BE) passant par A coupe (BE) en
H et (DC) en G.

Montrer que les angles $\widehat{\text{ABE}}$ et $\widehat{\text{DAG}}$ ont même mesure.
(la valeur de l'angle n'est pas demandée.)
\item En considérant les triangles ABE et DAG, évaluer les tangentes des angles $\widehat{\text{ABE}}$ et $\widehat{\text{DAG}}$.

En déduire DG.

Après avoir donné la valeur exacte, vous donnerez une valeur approchée à $10^{-1}$ près par excès.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Du balcon de mon appartement situé au deuxième étage d'un immeuble, j'aperçois, dans le chantier situé en face, une grue.

L'immeuble se trouve exactement à $19,80$ mètres du pied de la grue. 

Placé à 8 mètres au dessus du sol, j'ai déterminé (à l'aide d'un simple rapporteur) l'angle sous lequel je vois la grue. Cet angle est égal à $61\degres$.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(6.7,5.7)
%\psgrid
\psline(0,3.4)(1.1,3.4)(1.1,3.3)(1,3.3)(1,0.4)(6.6,0.4)
\psframe[fillstyle=crosshatch](5.1,0.4)(5.3,5)
\rput{20}(3.8,4.5){\psframe[fillstyle=crosshatch](0,0)(3.2,0.2)}
\uput[ul](5.1,0.4){A}\uput[ul](5.1,2.1){H}\uput[ul](5.1,5){B}
\rput{90}(5.5,2.7){grue}
\psline(1.,2.1)(1.1,2.1)(1.1,2)(1.,2)
\psline(1.,2.1)(1.1,2.1)(1.1,2)(1.,2)
\psline(1.,0.5)(1.1,0.5)(1.1,0.4)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1,0.2)(5.1,0.2)\uput[d](3.1,0.2){\footnotesize 19,80}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.9,2.1)(0.9,0.4)\uput[l](0.9,1.25){\footnotesize 8}
\psline[linestyle=dashed](5.1,0.4)(1.1,2.1)(5.1,5)
\psline[linestyle=dashed](1,2.1)(5.1,2.1)
\uput[ul](1,2.1){O}
\psarc(1,2.1){0.5}{-20}{33}\rput(1.78,2.15){\footnotesize $61\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En appelant H le projeté orthogonal du point O sur la droite (AB),
et en constatant que HA $= 8$ (mètres), déterminer l'angle $\widehat{\text{HOA}}$. 

Vous donnerez la valeur arrondie au degré près.
\item En considérant le triangle OHB, déterminez HB, puis la hauteur AB de la grue. 

Vous donnerez les valeurs arrondies au centimètre près. 

(Note: la grue est supposée verticale et le sol horizontal.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

Un bateau effectue la traversée d'un port R vers un port S en passant au large de C. Le trajet est supposé rectiligne.

La carte mise à votre disposition (figure ci-après) est à l'échelle 1/\np{2300000} et possède un repère (O, I, J). (Unité : le centimètre),

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées des points R, S et C  ?
(Ces coordonnées sont supposées entières.)
		\item Déterminer, par le calcul, la distance RS sur la carte (valeur exacte),
puis la distance réelle séparant ces deux ports (valeur arrondie au kilomètre),
		\item Sachant que la traversée dure 6 heures, déterminer la vitesse du bateau en km/h, puis en nœuds.
		
Vous donnerez les valeurs arrondies au dixième.

(On rappelle que le nœud est une unité de vitesse utilisée en navigation et correspond à 1,852 km/h).
	\end{enumerate}
	
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-4)(6.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\pscurve(-5,-2.15)(-4.5,-2.3)(-4.55,-2.1)(-4,-2)(-3.6,-2.32)(-3.4,-2.5)(-3,-2.1)(-2.5,-2.4)(-2.3,-2)(-2,-1.6)(-1.6,-1.5)(-1,-1.4)(-0.5,-1.6)(-0.4,-2)(0,-2.5)(0.3,-3)(0.5,-3.4)(0.6,-3.42)(0.75,-3)(1,-2.85)(1.25,-2.65)(1.75,-2.5)(1.8,-2.7)(2,-2.6)
\pscurve(2,-2.6)(2.1,-2.5)(2.3,-2.98)(2.32,-2.6)(2.6,-2.6)(2.7,-3.1)(3,-3)(4,-2.9)(4.2,-2)(4.1,-1.7)(4.3,-1.3)(4,0.5)(3.6,1)(3.3,1.4)(3.1,1.6)(4.04,2.2)(4.2,2)(5,2.2)
\pscurve(-2,5.1)(-1.8,5.2)(-1.6,6)(-1.5,6.7)(-1.4,6.4)(-1,6.7)(-0.5,6.85)(-0.15,7)(0.5,6.8)(1,6.4)(1.5,6.1)(1.75,5.9)(1.6,6.3)(2,6.4)(2.5,6.25)(3,6.35)(3.4,6.5)(3.2,6.6)
\pscurve(3,6.7)(3,6.9)(3.15,6.8)(3.6,7)(3.9,7.1)(4,7.4)(4.3,7.1)(4.4,7.3)(5,7)(4.9,7.4)(5.1,7.7)(5.2,7.3)(5.6,7.1)
\psdots(0,0)(5,7)(-4,-2)(4.04,2.2)
\uput[dr](1,0){I}\uput[ul](0,1){J}\uput[u](4.04,2.2){C}\uput[ul](5,7){S}
\uput[ur](-4,-2){R}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Se trouvant au large de la ville C, le bateau demande, par radio, l'envoi d'un médecin. D'un commun accord, les circonstances le permettant, il est décidé qu'un hélicoptère partant de C déposera le médecin sur la route RS du bateau à l'endroit le plus proche de la ville C.
Soit H le point où l'hélicoptère rencontrera le bateau.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer comment est déterminé le point H.
		\item Déterminer l'équation de la droite (RS).
		\item Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à la droite (RS) et passant par C.
		\item Déterminer les coordonnées du point H.
		\item Déterminer, par le calcul, la distance CH sur la carte (valeur exacte). En déduire la distance réelle séparant la ville C et le point H. (Vous donnerez la valeur arrondie au kilomètre.)
		\item l'hélicoptère se déplace à une vitesse moyenne de $130$~km/h, Quel temps, en minutes, mettra-t-il pour atteindre le bateau ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}