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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen septembre 1953}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression

\[A = 2(x + 1)(2x - 3) + 2\left(x^2 - 1\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et mettre A sous la forme d'un polynôme ordonné.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A = - 8$ ?
\item Mettre A sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A = 0$ ?
\item Simplifier la fraction rationnelle $y = \dfrac{A}{3x - 4}$ et représenter graphiquement les variations de $y$ en fonction de $x$.
\item Déduire du graphique les valeurs de $x$ qui donnent à $y$ une valeur négative.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Étant donné un rectangle ABCD, on prend sur le côté [CD], entre C et D, un point variable E et, par A, on mène la perpendiculaire à (AE), qui coupe (BC) en F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère AECF est inscriptible dans un cercle, dont on précisera le centre O, et que les triangles AEF et BCA sont semblables.
\item Quelle est la nature du triangle AOC ?

Montrer que le point O se trouve sur une droite fixe.
\item On suppose que l'angle $\widehat{\text{CAD}}$ mesure $60\degres$ et que la droite (AE) est la bissectrice de cet angle.

Calculer, en fonction de BC $= a$, les longueurs des côtés du triangle AEF.
\end{enumerate}
\end{document}