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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Caen}}
\rfoot{\small{septembre 1955}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Caen septembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire sur un même graphique les courbes représentatives des deux fonctions suivantes :
\[\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad \quad& y &= &1,5x + 6,\\
(2)\qquad \quad& y &=& -3x + 6.
\end{array}\]

On prendra 1 cm pour unité sur chacun des deux axes rectangulaires $x'$O$x$, $y'$O$y$.

Expliquer la construction.
\item Les deux courbes tracées se coupent en I ; elles coupent l'axe des abscisses en A et B respectivement.

Montrer que les deux triangles AOI et IOB sont semblables.

En déduire la valeur de l'angle $\widehat{\text{AIB}}$.
\item Calculer l'aire du triangle AIB.

Quel serait, à 1/10 mm près, le côté d'un carré ayant même aire ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit $a$ une longueur donnée. On considère une droite $xy$ et, sur cette droite, trois points A, B, C, qui se succèdent dans cet ordre et suivant le sens $xy$.

On suppose en outre que AB $= a$ et BC $= 3a$.

Par A, dans le demi-plan supérieur, on trace la demi-droite A$z$; par C, dans le demi-plan inférieur, on trace la demi-droite C$t$ de façon que les angles $\widehat{x\text{A}z}$ et $\widehat{y\text{C}t}$ soient égaux.

Sur A$z$ on place le point D tel que AD $= a$, sur C$t$ le point E tel que CE $= 3a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les triangles ABD et CBE; montrer que les points D, B, E sont alignés.
\item Sur quelle ligne se déplace le centre O du cercle circonscrit au triangle BCE lorsque l'angle $\widehat{y\text{C}t}$varie ?

Quelle est la valeur de l'angle $\widehat{\text{BOC}}$ lorsque l'angle  $\widehat{y\text{C}t}$ vaut $135\degres$ ?
\item Dans le cas où les angles $\widehat{x\text{A}z}$ et $\widehat{y\text{C}t}$ valent $120\degres$, comparer les droites (AE) et (DC).

Quelle est la nature du quadrilatère ADCE ?
\item Lorsque l'angle $\widehat{x\text{A}z}$ vaut $90\degres$, calculer en fonction de $a$ le périmètre $P$ et l'aire $S$ du quadrilatère ADCE.
\end{enumerate}
\end{document}