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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Bordeaux}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Bordeaux}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



%\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'expression
\[A(x) = (3x - 1)^2 -(x + 2)(x - 2) - (2x - 1) (4x + 3)\]

peut se mettre, toutes réductions faites, sous la forme $8 (1 - x)$.
\item On considère le polynôme 
\[B(x) = ax^2 + bx - 4.\]

Écrire les deux équations que doivent vérifier les coefficients $a$ et $b$ pour que le polynôme $B(x)$ soit nul pour $x = 1$ et pour $x = 4$.

Résoudre alors le système en $a$ et $b$ formé par ces deux équations.

Vérifier que le polynôme $B(x)$ obtenu en remplaçant $a$ et $b$ par les valeurs trouvées est le développement du produit $(- x + 1) (x - 4)$.
\item $B(x)$ étant le polynôme obtenu précédemment, montrer que la fraction rationnelle $y = \dfrac{A(x) + B(x)}{A(x)}$ peut s'écrire, après simplification, $\dfrac{x + 4}{8}$.

Construire le graphique représentatif des variations de la fonction $y$.

Déduire de ce graphique les valeurs de $x$ pour lesquelles $y > \dfrac32$.

Retrouver ces valeurs par résolution de l'inéquation.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un segment [BC] de mesure $7,5$~cm, de milieu O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point H, situé entre B et C, tel que
l'on ait $\dfrac{\text{HB}}{\text{HC}} = \dfrac14$, puis calculer les longueurs HB et HC.
\item Construire le triangle ABC, rectangle en A, d'hypoténuse le segment [BC] donné et tel que le point H soit le pied de la hauteur issue de A.

Calculer AH.

Montrer que  AC = 2 AB, et en déduire que $\sin \widehat{\text{B}}$ est le double de $\sin \widehat{\text{C}}$.
\item On considère l'angle $\widehat{\text{HAY}}$, dont (AB) est la bissectrice intérieure.

A$y$ coupe le prolongement de [CB] en D.

Montrer que le triangle DAO est rectangle et que les triangles DAB et DAC sont semblables.

Calculer DA, DB et DC.

Vérifier que $\dfrac{\text{BD}}{\text{BH}}  = \dfrac{\text{CD}}{\text{CH}} = \dfrac53$.

Pouvait-on le prévoir? 
\end{enumerate}
\end{document}