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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Caen septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application : 
\[f : \begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x&\longmapsto&f(x) = (3 - 2x)(2 - x) + 4x(3 - 2x)\left(9 - 4x^2\right)
\end{array}\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
		\item Mettre $f(x)$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
		\item Calculer $f\left(\dfrac32\right),\: f(0),\: , f\left(\sqrt 2\right), \: f\left(-\dfrac12\right)$.
\end{enumerate}

Encadrer $f\left(\sqrt 2\right)$ par deux nombres décimaux dont la différence est $10^{-2}$.
\item On considère la fonction rationnelle :
\[g : \begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x&\longmapsto&g(x) = \dfrac{2x^2 + 5x  3}{(3 - 2x)(- 3x + 1)}
\end{array}\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{E}$ de la fonction $g$.
		\item Simplifier $g(x)$. Soit $g'(x)$ cette expression simplifiée.
		\item Calculer si cela est possible : $g(1),\:g(3), \:g\left(\dfrac32\right)$.
		\item Résoudre dans $\mathcal{E}$ l'équation :
\[g(x) = 0.\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire dans le plan rapporté à un repère \Oij{} les représentations
graphiques des fonctions $f_1$ et $f_2$ suivantes :

\[f_1 : \begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x&\longmapsto&f_1(x) = x - 1
\end{array} \qquad 
f_2 : \begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x&\longmapsto&f_2(x) = - 3x + 1
\end{array}\]

		\item Donner l'ensemble des éléments de E tels que $g(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points A, B, C tels que:

\[\vect{\text{OA}} =  4 \vect{\imath} + 0,5\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OB}} =  6 \vect{\imath} + 2\vect{\jmath}, \quad\vect{\text{OC}} = - 2 \vect{\imath} - 4\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.
		\item Démontrer que les point A, B et C sont alignés.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du milieu M du bipoint (B, C).
		\item Soit D le point du plan défini par:
\[\vect{\text{OD}} = \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}.\]

Quel est le milieu du bipoint (O, D) ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $d$(O, C), $d$(O, D), $d$(C, D).
		\item Montrer que le triangle (C, O, D) est rectangle et isocèle.
		\item Calculer les coordonnées du milieu I du bipoint (C, D).
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les droites (MI) et (OC) sont parallèles.
\item Soit E le point du plan défini par:
\[\vect{\text{OE}} = 6\vect{\imath}.\]

Calculer lecosinus et la tangente de l'écart angulaire de l'angle géométrique
$\widehat{\text{BOE}}$.

Donner l'écart angulaire de cet angle à un degré près par défaut.
\end{enumerate}
\end{document}