\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Caen septembre 1997},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1997}
\rfoot{\small  Poitiers}
\lfoot{\small septembre  1997}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Caen septembre  1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une fraction, la plus simple possible:

\[A = \dfrac37 + \dfrac{20}{14} ; \qquad B = \dfrac{13}{5} :  \dfrac{26}{7}\]


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On pose $D = \left(\sqrt5 + \sqrt3)\right)^2$.

Écrire $D$ sous la forme $a + b\sqrt{15}$, $a$ et $b$ désignant des entiers.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $(x + 1)(2x-14) = 0$.
\item Factoriser l'expression $E = (x + 8)(x - 2) - 5(x - 2)$.
\item Développer et réduire l'expression $F= (x + 5)(x - 7)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Sur la planète imaginaire oméga vivent 15 millions d'êtres: 30\,\% de ces êtres 
sont des alphas, $\dfrac35$ de ces êtres sont des lambdas et tous les autres sont des epsilons.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'alphas vivant sur la planète Oméga.
\item Calculer le nombre de lambdas vivant sur la planète Oméga.
\item Calculer le pourcentage des habitants de la planète Oméga qui sont des epsilons.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.64\linewidth}{Sur le schéma ci-contre les longueurs sont données en mètres et les angles $\widehat{\text{OPS}}$ et $\widehat{\text{OTM}}$ sont droits.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi les droites (PS) et (TM) sont parallèles.
\item Calculer la longueur PS.
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{TOM}}$. On donnera la valeur arrondie au degré.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.34\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(5,4)
\pspolygon(0.5,0.5)(4,0.5)(0.5,3.2)%TMO
\psline(0.5,1.5)(2.7,1.5)%PS
\uput[dl](0.5,0.5){T} \uput[ur](4,0.5){M} \uput[u](0.5,3.2){O} \uput[dl](0.5,1.5){P} \uput[ur](2.7,1.5){S}
\psframe(0.5,0.5)(0.7,0.7)\psframe(0.5,1.5)(0.7,1.7)
\psline[linewidth=0.4pt,arrows=<->](0.5,0.3)(4,0.3)\uput[d](2.25,0.3){12}
\psline[linewidth=0.4pt,arrows=<->](0.3,1.5)(0.3,3.2)\uput[l](0.38,2.25){6}
\psline[linewidth=0.4pt,arrows=<->](0.,0.5)(0.,3.2)\uput[l](0,1.85){9}
\end{pspicture}
}

%fig
%\setcounter{enumi}{4}
\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle fraction de l'aire du triangle OTM représente l'aire du triangle OPS? Aucune justification n'est demandée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Toutes les questions sont indépendantes.

Dans le repère orthonormal (O, I, J), on considère les points suivants : A$(-3~;~6)$, B(3~;~12) et E(6~;~3)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la droite (AB). (On ne demande pas de justification).
\item Tracer la médiatrice $(d)$ du segment [AB].
\item Calculer les coordonnées du milieu C de [AB].
\item Donner une équation de la médiatrice $(d)$ de [AB]. (On ne demande pas de justification.)
\item Calculer la valeur exacte de la distance AE.
\item Construire le point H tel que $\vect{\text{EH}} = \vect{\text{BA}}$.
\item Construire J'image du triangle ABE par la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$. On
hachurera J'intérieur du triangle obtenu.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{QUESTIONS ENCHAÎNÉS}

\medskip

Dans ce problème, toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.

Les pièces d'un jeu ont toutes la forme d'un pavé droit surmonté d'une pyramide régulière. Elles sont de deux types A, B.

\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1)(3.8,5.8)
%\psgrid
\psframe(0.3,0.3)(1.8,3.5)%avant
\psline(1.8,0.3)(2.6,1.3)(2.6,4.5)(1.45,5.4)(1.8,3.5)(2.6,4.5)%côté droit
\psline{->}(1.45,5.4)(1.45,4)\uput[l](1.5,4.7){2}
\psline(0.3,3.5)(1.45,5.4)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.1,1.3)(2.6,1.3)
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.3)(1.1,4.5)(1.45,5.4)
\pspolygon[linestyle=dashed](0.3,3.5)(1.1,4.5)(2.6,4.5)
\psline[linestyle=dashed](1.1,4.5)(1.8,3.5)
\psline[linewidth=0.4pt,arrows=<->](0.3,0.2)(1.8,0.2)\uput[d](1.05,0.2){3}
\psline[linewidth=0.4pt,arrows=<->](0.2,0.3)(0.2,3.5)\uput[l](0.2,1.9){$x$}
\psline[linewidth=0.4pt,arrows=<->](2,0.3)(2.8,1.3)\uput[r](2.4,0.8){3}
\rput(1.05,-0.5){Pièce de type A $(3 < x < 15$}
\end{pspicture}
\end{center}}
\hfill\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1)(3,5.8)
%\psgrid
\psframe(0.3,0.3)(1.8,1.5)%avant
\psline(1.8,0.3)(2.6,1.3)(2.6,2.5)(1.4,5.4)(1.8,1.5)(2.6,2.5)%côté droit
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.1,1.3)(2.6,1.3)
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.3)(1.1,2.5)
\pspolygon[linestyle=dashed](0.3,1.5)(1.1,2.5)(2.6,2.5)
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.5)(1.1,2.5)(1.4,5.4)
\psline(0.3,1.5)(1.4,5.4)
\psline{->}(1.4,5.4)(1.4,2)\uput[l](1.4,3.7){$y$}
\psline[linewidth=0.4pt,arrows=<->](0.3,0.2)(1.8,0.2)\uput[d](1.05,0.2){3}
\psline[linewidth=0.4pt,arrows=<->](2,0.3)(2.8,1.3)\uput[r](2.4,0.8){3}
\psline[linewidth=0.4pt,arrows=<->](0.2,0.3)(0.2,1.5)\uput[l](0.2,0.9){2}
\rput(1.05,-0.5){Pièce de type B $(3 < y < 15$}
\end{pspicture}
\end{center}
}
%fig
(Note: ces schémas ne respectent pas d'échelle.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item La hauteur totale d'une pièce de type A est $x + 2$.

Quelle est la hauteur totale d'une pièce de type B ?
\item Dans cette question on prend $x =4$. Quel est alors le volume, exprimé en cm$^3$, d'une pièce de type A ?
\item Soit $V_1$ le volume, exprimé en cm$^3$, d'une pièce de type A. Soit $V_2$ le volume, exprimé en cm$^3$, d'une pièce de type B.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $V_1 = 9x + 6$.
		\item Montrer que $V_2 = 3y + 18$.
	\end{enumerate}
\item Par quelle égalité peut-on traduire l'affirmation \og une pièce de type A et une pièce de type B ont la même hauteur totale \fg{} ?
\item Résoudre l'équation $9x+ 6 = 2(3x + 18)$.
\item On suppose qu'une pièce de type A et une pièce de type B ont la même hauteur et que, de plus, le volume de la pièce de type A est le double de celui de la pièce de type B.

Quel est alors, en cm$^3$, le volume de la pièce de type B ?
\item On veut ranger une pièce de type A dans une boîte cylindrique.

Quel doit être le rayon minimal de la base de cette boîte pour qu'elle puisse contenir une pièce de type A ? On donnera la valeur exacte.
\end{enumerate}
\end{document}