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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nouvelle-Calédonie novembre 1958}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne trois droites $(D),\: \left(D'\right),\: \left(D''\right)$ ayant respectivement pour équations:
x

\[(D)\quad y = 2x - 3 \quad ;\quad \left(D'\right)\quad  y =- \dfrac x2 + 7\quad  ; \quad \left(D''\right) \quad y = - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les trois droites.

On prendra comme unité 1 cm sur les deux axes.
\item Calculer les coordonnées des points A (intersection de $\left(D'\right)$ et $\left(D''\right)$), B (intersection de $(D)$ et $\left(D''\right)$) et C (intersection de $(D)$ et $\left(D'\right)$).
\item Établir que le triangle ABC est rectangle.
\item Calculer l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un carré ABCD de côté $3a$, On prendra AE $= a$ sur le côté [AD] et DF $= a$ sur le côté [DC].

On tracera (AF) et (BE), qui se coupent en H.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (AF) est perpendiculaire à (BE).
\item Calculer les côtés du quadrilatère ABFE et ses
diagonales en fonction de $a$.
\item Établir que les triangles AEH et ADF sont semblables.

En déduire le calcul de HE, HA, HB, HF en fonction de $a$.
\item Montrer que le quadrilatère EDFH est inscriptible dans un cercle.

Ce cercle coupe (BF) en K ; calculer BK.
\end{enumerate}
\end{document}