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%Merci à :http://maths.ac-noumea.nc/spip.php?article620
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{7 décembre 2021}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\[7pt]
{\Large \textbf{7 décembre 2021}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 : \hfill 18 points}

\medskip

Pour chaque affirmation répondre par vrai ou faux. Justifier chaque réponse.

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} 50\,\% de \np{10350} c'est \np{10300}.

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} $\dfrac73$ est la forme irréductible de $\dfrac{42}{18}$.

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} L'équation $2x - 4 = -x + 5$ a pour solution $3$.

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} L'arrondi à l'unité près du volume d'une boule de diamètre $21,6$~cm est \np{42213}~cm$^3$.

\smallskip

\emph{On rappelle la formule du volume d'une boule } $V = \dfrac43 \pi R^3$.

\medskip

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
\textbf{Affirmation 5 :} Dans la figure codée ci-contre, la  mesure de l'angle $\widehat{\text{DNB}}$, arrondie à l'unité près, est $18\degres$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,2.4)
\pspolygon(0.4,0.2)(5.1,0.2)(0.4,1.9)%BND
\psframe(0.4,0.2)(0.6,0.4)
\uput[dl](0.4,0.2){B} \uput[dr](5.1,0.2){N} \uput[u](0.4,1.9){D} \uput[l](0.4,1.05){4 cm} \uput[d](2.75,0.2){12 cm}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Affirmation 6 :} On peut composer 6 codes différents avec un cadenas à 3 chiffres qui respecte les conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]les deux premiers chiffres sont choisis parmi 1 ; 2 et 3 ;
\item[$\bullet~~$]un chiffre peut apparaître deux fois;
\item[$\bullet~~$]le dernier chiffre est 6.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 : \hfill 10 points}

\medskip

On étudie les précipitations (hauteurs de pluies) sur la ville de Nouméa entre avril et décembre 2020. 

On obtient le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois 				&Avril 	&Mai &Juin 	&Juillet &Août 	&Sept 	&Oct &Nov 	&Déc.\\ \hline
Précipitations en mm&147 	&199 &40 	&67 	&47 	&54 	&104 &45 	&63\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize Source: https://www.historigue-meteo.net/oceanie/nouvelle-caledonie/noumea/2020}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne des précipitations. Arrondir le résultat au mm près.
\item Quelle est l'étendue des précipitations ?
\item Déterminer la médiane des précipitations.
\item Calculer le pourcentage de mois pour lesquels les précipitations sont supérieures à $100$~mm. Arrondir le résultat à l'unité près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 : \hfill 10 points}

\medskip

BAI est un triangle rectangle en A tel que BA $= 210$~cm et AI $= 155$~cm. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la longueur BI au cm près.

\textbf{Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.}

L'immeuble de Joanne possède 15 vitres rectangulaires.

Chaque vitre a pour longueur 210 cm et pour largeur 155 cm.

Lors d'une préalerte cyclonique Joanne pose de l'adhésif sur les deux diagonales de chaque vitre de l'immeuble.
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6,6.8)
%\psgrid
\psframe(1.5,1.8)(4.5,6.3)
\psline(1.5,1.8)(4.5,6.3)\psline(4.5,1.8)(1.5,6.3)
\uput[d](3,6.3){$155$~cm}\uput[r](4.5,4.05){210 cm}
\rput(3,0.2){Une bande d'adhésif est assimilée à une diagonale du rectangle}
\rput(3,6.6){Schéma de la situation}
\psline{->}(3,0.6)(2.3,3)\psline{->}(3,0.6)(3.7,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Justifier que Joanne a besoin d'environ $5,22$ m d'adhésif pour une vitre.
\end{enumerate}

Joanne a 7 rouleaux d'adhésif de $10$ m chacun.

\begin{enumerate}[resume]
\item A-t-elle assez d'adhésif pour toutes les vitres ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 : \hfill 14 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $330$ n'est pas un nombre premier.
		
La décomposition en produit de facteurs premiers de $500$ est: $500 = 2^2 \times 5^3$.
		\item Décomposer $330$ en produit de facteurs premiers.
		\item Justifier que $165$ divise $330$.
		\item Justifier que 165 ne divise pas $500$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
La pâtisserie Délices a préparé $330$ biscuits aux noix et $500$ biscuits au chocolat.

\textbf{La pâtisserie souhaite répartir le plus de biscuits possible dans $165$ boites.}

La pâtisserie met le même nombre de biscuits aux noix dans chaque boîte.

\begin{enumerate}[resume]
\item Combien de biscuits aux noix y a-t-il dans chaque boîte ?

La pâtisserie met aussi le même nombre de biscuits au chocolat dans chaque boîte.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Combien de biscuits au chocolat y a-t-il dans chaque boîte ?
		\item Combien de biscuits au chocolat reste-t-il ?
	\end{enumerate}
		
Une boîte de biscuits coûte \np{3650} francs.

À partir de 10 boîtes achetées, la pâtisserie Délices offre une réduction de 5\,\% sur le montant total.
\item Combien va-t-on payer pour l'achat de 12 boîtes ?

Faire apparaÎtre les calculs effectués.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 : \hfill 18 points}

\medskip

Un jeu est constitué de quatre familles de cartes:
banane ; 
prune ; 
citron ;
fraise.

Voici la répartition des cartes de la famille banane.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de banane(s)	&1&2&3&4&5\\ \hline
Nombre de cartes	&5&3&3&2&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La répartition est la même pour les cartes avec les autres fruits.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que ce jeu a $56$ cartes.

Joanne mélange toutes les cartes. Son frère Jack prend une carte au hasard. On admet que chaque carte a la même chance d'être choisie.

Soit $P$ l'évènement: \og Jack obtient une carte de la famille prune \fg.
\item Quelle est la probabilité de l'évènement $P$ ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'évènement contraire de $P$ ?
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement contraire de $P$ ?
	\end{enumerate}	
\item Quelle est la probabilité d'obtenir une carte avec quatre fruits ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 6 : \hfill 14 points}

\medskip

\textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Distance de réaction}

\medskip

La distance de réaction d'un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l'instant où le conducteur voit un obstacle et l'instant où il appuie sur la pédale de frein.

On considère un conducteur en bonne santé.

La distance de réaction, en mètre, en fonction de la vitesse du véhicule est représentée par le graphique de l'annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Cette représentation graphique traduit-elle une situation de proportionnalité ?

Justifier la réponse.
\item Compléter, par lecture graphique, le tableau de l'annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 : Distance de freinage sur route sèche}

\medskip

La distance de freinage d'un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l'instant où le conducteur appuie sur la pédale de frein et l'instant où la voiture s'arrête complètement.

La distance de freinage en mètre, pour un véhicule en bon état, est déterminée en fonction de la vitesse du véhicule par la formule :

\begin{center}$d = \dfrac{v^2}{203,2}$ \:  où $v$ est la vitesse exprimée en km/h\end{center}

On utilise un tableur  pour calculer les distances de freinage en fonction de la vitesse :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D\\ \hline
 1 &vitesse (km/h) &10 &20 &30\\ \hline
2 &distance de freinage (m)&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier parmi les formules trois suivantes, celle qu'il faut saisir dans la cellule B2 puis étirer vers la droite:

\begin{center}\fbox{= 2*B1/203.2}\qquad  \fbox{= B1*B1/203.2} \qquad  \fbox{= B1+B1/203.2}\end{center}

\item Un véhicule roule à $90$ km/h. 

Montrer que sa distance de freinage est environ $40$~m.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3 : Distance d'arrêt sur route sèche}

\medskip

La distance d'arrêt d'un véhicule est la distance parcourue par ce véhicule entre l'instant où le conducteur voit un obstacle et l'instant où la voiture s'arrête complètement.

Distance d'arrêt = Distance de réaction $+$ Distance de freinage

Calculer la distance d'arrêt d'un véhicule roulant à $90$ km/h.

\bigskip

\textbf{Exercice 7 : \hfill 9 points}

\medskip

On doit appliquer deux couches de peinture sur le sol et les parois intérieures d'une piscine rectangulaire dont les dimensions sont données dans le document 2.

À l'aide des documents ci-dessous, calculer le budget que l'on doit prévoir pour les travaux de peinture.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.6cm}|X|}\hline
\textbf{Document 1 :} pot de peinture

Surface pouvant être peinte: $35$ m$^2$

Prix : \np{12000}~F&
\textbf{Document 2 :} piscine de base rectangulaire 

Longueur : 8~m Largeur : 4~m Profondeur : 1,70~m

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-1.4)(7.8,3.5)
%\psgrid
\pspolygon(0,1.4)(5.8,0)(6.5,2.3)(0.7,3.7)
\psline(0.7,3.7)(0.7,2.3)(6.1,1)
\psline(0,1.4)(0,0)(5.8,-1.4)(5.8,0)
\psline(5.8,-1.4)(6.5,0.9)(6.5,2.3)
\psline(0.7,2.3)(0.4,1.3)
\rput(3.6,3.4){8 m}
\rput(0,2.8){4 m}
\uput[r](6.5,1.6){1,70 m}
\end{pspicture}
\end{center}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Toute trace de recherche même non aboutie sera prise en compte dans la notation.}

\bigskip

\textbf{Exercice 8: \hfill 13 points}

\medskip

%La photo ci-dessous montre le phare Amédée, une balise et une bouée :

%\begin{center}\includegraphics[width=12cm]{phare_7_12_2021} \end{center}

On dispose des informations suivantes sur le phare Amédée, une balise et une bouée :

\begin{itemize}
\item la hauteur du phare est de $56$~m ;
\item la balise est située à $260$~m du phare;
\item la balise et la bouée sont distantes de $151$~m ;
\item la bouée O, le sommet B de la balise et le sommet P du phare sont considérés comme trois points alignés.
\end{itemize}

Schéma de la situation :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10.5,3.5)
\psline(0,0.5)(10,0.5)(0,3.1)%HOP
\psline[linestyle=dashed](1.3,0.5)(1.3,2.7)
\psline[linestyle=dashed](7.1,0.5)(7.1,1.25)
\uput[u](1.3,2.7){P} \uput[d](1.3,0.5){H} \uput[u](7.1,1.25){B} \uput[d](7.1,0.5){A}
\uput[d](10,0.5){O} \uput[l](1.3,1.6){56 m} \uput[d](4.2,0.5){260 m} \uput[d](8.55,0.5){151 m}
\rput{90}(1.6,1.6){Phare} \rput{90}(7.4,0.85){Balise}\rput{90}(10,1){Bouée}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(1.3,0)(7.1,0)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(10,0)(7.1,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Les droites (PH) et (BA) sont parallèles.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la distance OH en m ?
\item Déterminer la hauteur AB de la balise. Arrondir au dixième de m près.

\textbf{Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.}
\end{enumerate}

Le haut du phare est protégé par une barrière composée de sculptures.

\begin{center}
Contour de la sculpture
\medskip

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\pspolygon(0.9;0)(1.4;15)(0.9;30)(1.1;45)(0.9;60)(1.4;75)(0.9;90)(1.1;105)(0.9;120)(1.4;135)(0.9;150)(1.1;165)(0.9;180)(1.4;195)(0.9;210)(1.1;225)(0.9;240)(1.4;255)(0.9;270)(1.1;285)(0.9;300)(1.4;315)(0.9;330)(1.1;345)
\end{pspicture}
\end{center}

On souhaite réaliser un programme Scratch pour reproduire le contour de cette sculpture. 
\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{a}$ en degré dans la figure ci-dessous:

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](-1.5,0)(1.5,0)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,0)(1.5;-72)
\psarc(0,0){0.5}{298}{360}\psarc(0,0){0.6}{0}{180}\psarc(0,0){0.5}{180}{288}\psarc(0,0){0.45}{180}{288}
\rput(0.9;90){$180\degres$}\rput(0.8;334){$72\degres$}\rput(0.75;234){$\widehat{a}$}
\psline(-0.6,0)(0,0)(0.5;288)
\end{pspicture}
\end{center}

Le script 1 permet de tracer le motif en pointillé ci-dessous (on part du point A et on s'arrête au point B).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(4.6,6)
%\psgrid
\psline[linestyle=dotted](2.5,0)(0.2,0.3)(2.2,1.9)(1.1,3.2)(2.7,3.4)(2.4,5.5)(4.4,4.2)
\uput[l](0.2,0.3){B}\uput[r](0.4,0.45){$36\degres$}
\uput[r](1.2,3.1){$72\degres$}\uput[u](1.8,3.3){28}\uput[dl](1.6,2.6){28}
\uput[l](2.5,4.5){38}\uput[ul](2.2,5.5){A}\uput[ur](3.4,4.8){38}\uput[ul](1.2,1.18){38}
\uput[dl](1.4,0.1){38}
\rput{126}(2.2,1.9){\psframe(0.2,0.2)}
\rput{98}(2.7,3.4){\psframe(0.2,0.2)}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Compléter le script 1 de l'annexe.
\end{enumerate}

Le script final permet de réaliser le contour de la sculpture.

\begin{enumerate}[resume]
\item Compléter le script final de l'annexe.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 6}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-10,-2.5)(120,40)
\multido{\n=0+2}{61}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,35)}
\multido{\n=0+10}{13}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,35)}
\multido{\n=0+1}{36}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(120,\n)}
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(120,\n)}
\uput[r](0,36.5){Distance (m)}\uput[u](105,0){Vitesse (km/h)}
\rput(60,38){Distance de réaction en fonction de la vitesse}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(120,35)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{110}{0.27777 x mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Vitesse (km/h)			&0 		&\ldots	&90\\ \hline
Distance de réaction (m)&\ldots	&15		&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 8 :}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{Script 1} &\textbf{Script final}\\
\begin{scratch}
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{motif}}%
\blockmove{avancer de \ovalnum{38} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{28} pas}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{108} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{} pas}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{} pas}
\end{scratch}&
\begin{scratch}
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{} fois}
{
\blocklook{motif}
\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{} degrés}
}
\end{scratch}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}