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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nouvelle-Calédonie novembre 1958}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression
\[A = (2x + 3) (x + 4)- (- 4x + 5) (2x + 3) + (2x + 3)(- 3x - 2).\]

\item Pour quelle valeur de $x$ l'expression $A$ est-elle nulle ?
\item Construire sur un même graphique les droites $\left(D_1\right)$
et $\left(D_2\right)$ représentatives respectivement des fonctions
\begin{center}$y_1 = 2x + 3$\qquad  et \qquad $y_2 = 2x - 3$,\end{center}
(Unité graphique : le centimètre.)

$\left(D_1\right)$ coupe $x'x$ en A$_1$ et $y'y$ en B$_1$,  $\left(D_2\right)$ coupe ces mêmes axes respectivement en A$_2$. et B$_2$.

Calculer les coordonnées de ces points.

La perpendiculaire menée de B$_1$ à la droite D$_2$ coupe D$_2$ en un point C$_2$.

La perpendiculaire menée de B$_2$ à la droite D$_1$ coupe D$_1$ en un point C$_1$.

Quelle est la nature du quadrilatère B$_1$C$_1$B$_2$C$_2$ ?

Calculer les coordonnées du point de rencontre de ses diagonales et la longueur de C$_1$C$_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un triangle ABC et sa médiane [AM].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un point D du segment [AB], qui partage ce segment dans le rapport $\dfrac14$.
\item Par D on mène la parallèle à AM, qui coupe BC en E.

Montrer que les triangles AMB et DEB sont semblables.

Quel est leur rapport de similitude ?

Quel est le rapport de leurs aires ?
\item Soit N un point quelconque du segment [AC].

On mène par ce point la parallèle à (AM), qui coupe (BC) en P.

Montrer que les triangles AMC et NPC sont semblables.
\item Si N varie sur le segment [AC] ((NP) restant parallèle à (AM)), sur quelles lignes se déplacent les points suivants :
	\begin{enumerate}
		\item le pied H de la hauteur issue de C du triangle NPC ;
		\item le centre du cercle inscrit à ce triangle ;
		\item le pied de la médiane issue de C ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}