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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 1955}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Nouvelle-Calédonie novembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre algébriquement le système

\[\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&2x,\\
y + \dfrac x2&=& 5.
\end{array}\right.\]

\item Le résoudre graphiquement.
\item Soient A et B les points, différents de O, où l'une des droites trouvées précédemment coupe respectivement O$x$ et O$y$, et C le point d'intersection des deux droites.

Étudier la nature du triangle AOC ; calculer son périmètre et son aire.

(On prendra le centimètre comme unité de longueur et le centimètre carré comme unité d'aire.)
\item Quelles sont les coordonnées du point D symétrique de B par rapport à C ?

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB $= 12$ cm, M un point quelconque mobile sur le cercle et G le point de concours des médianes [AP] et [BQ] du triangle MAB.

On prolonge [GO] d'une longueur OG$'$ = GO.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le lieu décrit par G$'$ quand M parcourt le
cercle ?

Quelle est la nature du quadrilatère AGBG$'$ ?

Peut-il devenir un rectangle?
\item On trace [AG$'$], que l'on prolonge d'une longueur 
G$'$I $= \dfrac{\text{AG}'}{2}$ ; la droite (BI) coupe le cercle en N.

Étudier la nature des quadrilatères AQBI et AMBN.

Le quadrilatère AMBN peut-il devenir un carré ?
\item Étudier le triangle BPO et en déduire le lieu du point P ;  trouver de même le lieu de~Q.
\end{enumerate}
\end{document}